桂图登字：20-2016-304

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图书在版编目（CIP）数据

人类符号简史/（美）约瑟夫·马祖尔著；洪万生等译. ——南宁：接力出版社， 2018.5

书名原文： Enlightening Symbols： A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers

ISBN 978-7-5448-5222-7

Ⅰ.①人… Ⅱ. ①约… ②洪… Ⅲ.①社会科学－通俗读物 Ⅳ. ①C49

中国版本图书馆CIP数据核字（2017）第302624号

责任编辑：张慧芳文字编辑：刘盛楠美术编辑：许继云装帧设计：许继云

责任校对：刘艳慧高雅责任监印：刘冬版权联络：王燕超

社长：黄俭总编辑：白冰

出版发行：接力出版社社址：广西南宁市园湖南路9号邮编：530022

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经销：新华书店印制：北京鑫丰华彩印有限公司

开本：710毫米×1000毫米 1/16 印张：15.75 字数：255千字

版次：2018年5月第1版印次：2018年5月第1次印刷

印数：00001—13000册定价：42.00元

质量服务承诺：如发现缺页、错页、倒装等印装质量问题，可直接向本社调换。

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文前辅文

献给我的大哥巴瑞

他从0开始教导我

导言

一位数学家、一位音乐家和一位心理学家走进一家酒吧……

几年前，我还压根儿没想过自己会写一本关于符号史的书，那时我与一些同事在科莫湖边贝拉焦村的一家小酒吧，曾有过一段对话。那位心理学家声称，符号在人类发展出语言之前早已存在多时，而这些符号来源于人类最基本且原始的思想。那位音乐家则指出，现代乐谱主要源于生活在第一个千禧年之交的本笃会修士吉多·阿雷佐（Guido d’Arezzo），但一种更原始的符号记谱形式几乎可追溯至腓尼基人的手稿。而我，就是那位数学家，我接下来说的事让我的朋友们大吃一惊。我告诉他们，除了数字之外，数学符号——甚至代数方程式——都是近代的发明，几乎所有数学式在15世纪末之前都是以文字（vhetorical）表述的。

“什么？”心理学家大吼说，“那乘法运算呢？你是要告诉我们没有用来表示‘相乘’的符号？”

“16世纪之前没有……也许17世纪之前都没有。”

“那么等式呢？‘等于’符号是何时出现的？”音乐家问道。

“不早于……16世纪。”

“但是欧几里得无疑使用了‘加’的符号。”心理学家说，“那毕达哥拉斯定理呢？这个定理涉及了直角三角形的边长平方相加。”

“不……12世纪之前没有表示‘加’的符号！”

当我们品味着昂贵的巴罗洛红酒时，现场陷入一阵沉默。

后来证明，我的说法并不正确。更久远之前，早在公元前18世纪，埃及人便使用了表示加和减的象形文字，以人们靠近或远离的图形，分别代表数量的加或减。而不时地，数学著作的作者大胆利用符号来作为表达的媒介。因此，从许多例证可以看出，他们尝试以图形记号来表示文字甚至整个短语。4世纪，巴赫沙里手稿（Bakhshâlî manuscript）中用看起来像现代加号的符号来记录负数。3世纪，亚历山大的丢番图（Diophantus of Alexandria）使用一个希腊字母来表示未知数，并利用类似朝上的箭头符号来代表减。7世纪，印度数学家婆罗门笈多（Brahmagupta）使用小黑圆点，代表我们现在称作“零”的这个新数字。到了15世纪下半叶，现代的符号才开始羞怯地进入数学的世界。当然，长久以来，人类用以表示整数的符号一直存在。

在小酒吧那一晚，我没意识到自己估算符号使用的时间应该再早几个世纪。可以确定的是，丢番图在3世纪已用了一些他自己的表示方式。然而，12世纪之前，符号并未在符号化的层次上进行运算，也即方程式的运算不是纯符号式的。或许我该宣称，正确的说法是，在16世纪之前大部分 数学式都是以文字表述的，好让大家更加惊讶。

自从那次谈话之后，我发现绝大多数人对于16世纪之前的数学记法不是真正的符号这件事，感到非常惊奇。我们也想知道，以符号的形式来讨论代数，有什么样的好处？又有什么不足呢？

追溯符号的根源，可知它们是一种借由从事物外观或信息传递中抽象出来的模式与结构，来理解、认识与创造意义的手段。

symbol（符号）这个词来自希腊文里代表token（象征）或token of identity（身份的象征）之义的词，它结合了两个词根：sum （一起）和动词ballo （丢掷）。对“符号”一词较宽松的诠释是“放在一起”。它的词源来自一种古老的证明方式，证明某人身份或某人与他人之间的关系。一根木棒或骨头被劈成两半，有关联的两人各取其半。为了核证这个关系，这两半必须完美地契合。

再从更深的层次来看，“符号”一词意味着，当熟悉的事物与不熟悉的事物被放在一起时，会创造出某种新事物。换句话说，当一个无意识的想法与有意识的想法契合时，新的意义浮现出来。更确切地说，符号是连接有意识与无意识的想法时所得出的意义。

数学符号真能达到这样的目的吗？它们真的必然满足上述关系吗？或许符号与记法之间存在一种差异。记法来自速记，让词语简略。如果将符号视作为我们提供潜意识思考的记法，想想“＋”的情况。这只是一个记法，起初源自拉丁文et 的速记。是的，它来自et 中的t。1489年，我们在约翰内斯·威德曼（Johannes Widmann）的著作《各种职业中快速且工整的计算》（Behende und hubsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft ）中发现这个记法。它指一种数学运算，如同and这个词。

“＋”被用于诸如2＋3＝5的算术表达中，仅告诉我们2与3之和记作5。但在代数表达里，例如x² ＋2xy ＋y² ，它的意思不单是“x² 与2xy 与y² ”。数学家将“＋”视为形成完全平方式（x ＋y ）² 的黏合剂。现在可以确定的是，数学家同样将and视为一种黏合剂。或许要花一点时间才能看出上述完全平方式，但当我们注视着某物时，心里知道它有另一种更有用的形式，熟悉的符号总是为我们提供有用的关联。

一种力求纯正的方法，能够区分出符号表示与简单记法之间的差异。我抱有一种更宽容的个人观点，数字与所有非文字形式的操作性记法是不同的，但它们同样被视为符号，因为它们代表与它们本身不相似的事物。

再读一次2＋3＝5这个算术表达。在数学上，这是一个完美的句子，有名词、连词和动词。只需一秒钟，你便能读懂它并继续往下读了。即便没有察觉到自己的事实查核过程，你仍基于许多理由相信它是对的，当你还是小孩子时就被告知这件事，最终在经年累月接收了大量确凿的证据后，无须再有意识地彻底搜寻你头脑里贮存确定事实的图书馆，便能知晓它是正确的。

然而，对于符号的使用技术，作家与数学家之间的差异显而易见。作家为了煽动情绪或利用个人生命旅程中所领悟的种种意义来营造深入人心的情境，会自由自在地使用符号，即使使用方式与生活经验矛盾；相反，数学家除了归谬法的论证模式必须通过导出矛盾来建立整个证明体系之外，不能构成矛盾。数学符号具有明确的基本目的：为了便于理解，严谨地包装复杂的信息。

相较于数学家，作家拥有更多自由。文学上使用的符号可能受到神话和文化的羁绊，但它们以许多不同的方式被使用。艾米莉·狄金森（Emily Dickinson）在她的诗作《一个瘦长的家伙在草地》（A Narrow Fellow in the Grass ）中，未曾使用“蛇”这个词，以避免这个词直接连接到邪恶、鬼祟和危险，尽管蕴意是一样的。约瑟夫·康拉德（Joseph Conrad）在他的著作《黑暗之心》（Heart of Darkness ）中，将刚果河描述为“一条伸开身子的巨蛇，将头探进大海”，唤起了关于狡猾和鬼祟的言外之意。一个作家也可能无意中使用“蛇”这个词，却绝非意指某个事物属意料之外、诡诈或危险。它可能只是一种描述方式，正如“河流像一条蛇般蜿蜒”的描写手法一样。作家也许是试图唤起一种与其文化内涵无关的意象。总是使用比喻手法来表达其实很难——或许是不可能的。

数学家会使用一种叫作“蛇引理”（snake lemma）的引理（一个小定理，用来证明主要定理的垫脚石），它涉及一种被称为“蛇图”（snake diagram）的图形——它并非意指其中存在任何邪恶、狡猾或危险的事物，而是指图形的样子看起来就像一条蛇，这同样只是一种形象的描述。

人造的数学符号，与音乐旋律中可变的、带有情绪的符号，或者诗歌中隐喻的符号，有所不同。然而，有些符号仍容易唤起潜意识中清晰聚焦的知觉和连接。符号也可能传递隐喻的思想，能够凭借相似（similarity）、类比（analogy）和貌似（resemblance）来传达意义，如同纸上的文字一样。

阅读代数式时，富有经验的数学头脑可以在极短的神经传导时间里，跨越广大无边的连接。

以每个儿童都学过的符号π 为例。作为一个符号，它是思想的一种感官表达，这些思想通过关联而唤醒了相关暗示。在定义上，它指一个特定的比，即圆的周长除以其直径。作为一个数字，它大约等于3.14159。它可以化身为许多不同的形式。举例来说，它可以用无穷数列来呈现：

或是无穷乘积：

或是无穷连分数：

它经常出现在分析学和数值计算领域。当人们在一个方程式中发现π ，机智的读者会自动想到某种与圆有关的事物潜藏在其后。因此，这个符号（当然是指现代的形式）不会愚弄那个早已熟悉它的各种伪装的数学家，因为早已了解这个符号，头脑中会下意识地浮现出它的意义。

下面是π 的另一种伪装：设想一条河流，它受平缓坡度的影响，在均匀的易受侵蚀的沙地上流淌。理论上可预测，随着时间的流逝，河流的真正长度，除以起始点与终点之间的直线距离，将会趋近于π 。如果你猜想这与圆有关，你猜对了。

物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner）在他著名的文章《数学在自然科学中不合理的有效性》（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences ）里，讲述了一个生动的故事：一个统计学家尝试解释一本使用高斯分布来研究人口趋势的再版书中各个符号的意义。“那这里这个符号是什么？”一位朋友问道。

“哦！”统计学家说，“那是π 。”

“π 是什么？”

“圆周长与圆直径的比。”

“嗯，可是人口确定与圆周长无关。”

维格纳讲这个故事的目的是要告诉我们，数学概念会在令人惊奇的意外情况下出现，就像河流长度和人口趋势的例子。当然，他更关心的是了解数学与物质世界那些意想不到的连接背后的原因，但他的故事也点出问题，也就是为什么这类纯数学世界里的概念会以意料之外的方式现身？

在欧几里得的《几何原本》里，符号π 不具意义（不过是古希腊字母表中的第十六个字母），即使《几何原本》包含一个不易证明的事实：任意两个圆的面积比是它们的直径上的正方形面积之比。 ^[1] 希腊数学思想独一无二的特质，在于确信这世界存在可被证明的永恒真理：任何一个圆都会被自身任一条直径等分；任何三角形的内角和永远是一个相同的常数；三维空间中恰好存在五个正多面体。在《几何原本》第二卷命题4中，欧几里得告诉我们如何证明今日觉得简单的代数恒等式，例如（a ＋b ）² ＝a² ＋b² ＋2ab ，但是在他的证明里看不到任何表示乘幂的代数符号（那些放在右上角的小数字，说明一个数字自乘多少次），在他的命题和证明里也看不到加号，这一方面是因为他的陈述和证明是几何式的，另一方面是因为他完全以叙事形式来陈述命题和证明。

亚历山大的丢番图比欧几里得晚出生五百多年。他在巨作《算术》（Arithmetica ）中提出两个未知数的特别线性方程如x ＋y ＝100及x －y ＝40某种接近于代数的解法。他并非借助符号来解答，而是使用简字化的记法（syncopated notation），也就是当时相当常见的做法：省略词中间的字母。所以他的著作离不开言辞解说。 ^[2] 那是脱离以日常语言来表现数学所跨出的第一步。

没有符号，研究所有数学仍是可行的。一般而言，法律条款中不包含诸如appurtenance（从属权）、aforesaid（前述的）、behoove（理应）等法律措辞之外的符号——除了用于法律文件，这些词只有少数人会想到要使用。无论是基于传统，或者有意安排，法律都不依赖以符号来达到精确性。自然语言中的文字，诸如英文或拉丁文，可以表达严格的意义，但几乎无法达到符号代数那种无懈可击的精确性。相反，成文法极为依赖意图，我们可以想见那些熟悉法律的聪明人会发现其中的漏洞。

想象一下，如果今天仍然完全是以文字表述，没有设计精巧的大量符号，数学会是什么样子？以阿尔-花拉子密（al-Khwārizmī）所著《代数》一书中的片段为例，甚至数字也以文字来表达：

如果一个人问你这样的问题：“我把十分成两部分，并将其中一部分乘上另一部分，所得结果为二十一”，那么你知道其中一部分为某数，而另一部分为十减某数。

我们会把这个问题简写为：x （10－x ）＝21。

如同阿尔-花拉子密所写的解答，当中用到的语言对该问题而言是明确的。在这段话背后，可能隐含了某种惯常的程序或某种计算法则，但它的确需要花一点力气才能看出来，因为阿尔-花拉子密的《代数》不是那个时代特别具有代表性的数学。

私人未公开的文件或许有所不同。思考过程和潦草的解答可能是在草稿上进行，如同今日数学家的做法。我无从确切得知，但我猜想最早是在某种沙板上探究解答，当中使用了某种个人的记法，之后以文字表达的方式组合，以说明文本内容。

创造力丰富的6世纪印度数学家和天文学家阿耶波多（Aryabhatta），用字母来代表未知数。而7世纪的印度数学家及天文学家婆罗门笈多——顺带一提，他是第一位将零视为数字的作者——使用缩写来代表出现在特定问题中每一个未知数的平方与平方根。阿耶波多和婆罗门笈多都以韵文书写，因此不管他们使用什么符号体系都必须符合韵律。当读者看见一个小圆点时，他们所读的是代表小圆点的那个字。这让符号的使用受到限制。负数用一个小圆点来区分，分数的写法与今日相同，只是分子与分母中间没有横杠。

即使到了16世纪初期，欧洲的数学著作本质上仍是以文字表述的，尽管一些国家几百年来无疑经常使用缩写的文字。缩写变得简略，而到了下一世纪，通过弗朗索瓦·韦达（François Viète）、罗伯特·雷科德（Robert Recorde）、西蒙·史蒂文（Simon Stevin）及最终笛卡儿的书写，那些缩写变得非常简洁，所有与这些缩写的源头曾经显而易见的连接，从此消失无踪。

在数学里，一段文字表述的符号形式不只是便利的速记而已。首先，它不专属于任何特定的语言，世界上几乎所有语言都使用那些相同的记法，尽管书写形式可能各有不同。其次，且或许最重要的是，符号帮助思维超越那些以自然语言所写的文字伴随的模棱两可和误解。符号使得思维可以将特殊表达提升至一般化的形式。举例来说，文字表达句“从一未知数的平方，减去该未知数的两倍，再加一”可以写成x² －2x ＋1。这个符号式可以提示一种集合式的表达概念，就像我们可能从x² －2x ＋1的个别特性，导出一般二次式ax² ＋bx ＋c 。我们仅将x² －2x ＋1视为一个类别（species）的代表。 ^[3]

到了17世纪之初笛卡儿的时代，下述文字表述已几乎完全以现代的符号形式书写了：

一未知量与一个数的和的平方，等于该未知量与该数之平方和，再加上该未知量与该数之积的两倍。

当时是以符号∝来代表相等的：

符号最终使得代数从文字的非形式性解放出来。

随着这一切的发展，某种东西遗失了。我们传达现代数学时主要是通过成套的符号，也就是由符号所标注的信息公文包。而那些公文包往往如同俄罗斯套娃，一个套着一个的公文包集合，每一个都取决于下一个更小的公文包的符号。

有一个关于说笑话者的老笑话：一个家伙走进酒吧，听到几个老家伙围坐在一起讲笑话。其中一个人大喊：“五十七！”而其他人放声大笑。另一个人大叫：“八十二！”大家又都笑了起来。

于是这个家伙问酒保：“发生了什么事？”

酒保答道：“噢，他们已经在这里一起厮混讲笑话很久了，把他们所有的笑话以数字来编目。当他们要说笑话时只需要喊出那个数字。这样比较省时。”

这个刚到的家伙说：“真聪明！我来试试。”

于是这个家伙转向那群年长者大喊：“二十二！”

所有人只是看着他，没有人笑。

他尴尬地坐下，问那个酒保：“为什么没有人笑？”酒保说：“嗯，年轻人，你只是没有说对方式……”

数学家通常通过一系列符号信息和编码来沟通，这些符号对于没有钥匙打开装满内容的那些公文包的新手而言，是难以理解的。那些比人类曾创造的所有自然语言更难学习的记号、标志和符号所造成的困难，让数学家们变得非常小众。

为了帮助理解，数学家多半在言谈中放宽他们无懈可击的论证，牺牲绝对严密的证明。他们仰赖所谓的“口语的灵活性”，一种通过共通的专业基础知识与独立于文化背景的经验，来彼此理解的方式。

然而，即使运用口语的灵活性，绝对证明之外的某种东西还是消失了。数学，甚至应用数学、物理和化学，都可以在仅有图形符号且没有任何可想象得到的实物做参照的情况下进行研究。因此，物理学家所用的文字说明与数学家的文字说明之间的差异，是一种概念化的差异。

这或许恰好可以说明为什么物理学家比较容易与大众沟通，他们能够为我们说明这个世界上的“玩意儿”。他们所讲的玩意儿可能是银河、撞球、原子、物质的基本粒子和弦，但即使人们察觉不到那些弦，它们存在于十维空间且小于10^－35 米，却可以把它们想象成一种玩意儿。甚至电场和磁场也可以被想象成某种玩意儿。当物理学家撰写一本大众读物时，他们一开始便占有优势，他们知道每一位读者都曾体验过他们用语言所描述的事物，因为连他们提到的大部分无穷小的物体都是可以想象的“东西”。

数学家所使用的基本要素是某种更难以捉摸的东西。表示一个特定数字的符号N ，不只是一种便利的记法。现今它在意识中代表一种与这个世界少有关联的事物——换言之，N 是意识中的一个“存在”（being），而非这个世界中一个确定的“存在”。所以，这个非实体的事物具有一种认知层面上的本体论。现代理解一个数字——例如三——的思维过程，就像理解任何抽象事物一样，是一个爬梯的过程，都是从人类经验中确定数量的事物开始，逐渐超越到一般化事物：田野中的三只羊，三只羊，三个生物，三个东西……一路爬升到“三”这个概念。想象中的实体事物随着一般化事物的递增而递减。因此，数学符号是一种看得见的线索，帮助我们的意识完成从特例领悟通例的过程。

本书追溯数学中已确立的符号的起源和演化，始于计数，终于现代数学的基本运算符号。这主要是一部数学符号史；然而，它也探索了符号如何影响数学思考，以及符号如何唤起广泛又历久不衰的潜意识灵感。

本书包含三部分，区分数字的发展与代数的发展。这个艰难的写作决定是为了让可接受的符号定义能适合更大的记法范围，这个记法范围包括数字的记法和代数的记法。前两部分各有年表。第一部分和第二部分在某种程度上各自独立，但是读者应该知道，在早期发展阶段，数字与代数两者是沿着纠缠在一起的时间轴发展的。

[1] 关于所罗门圣殿中祭司行洁净礼用的水池，《圣经》中有一段引述（《列王记上》第7章第23节）：“他又铸一个铜海，样式是圆的，高五肘，径十肘，围三十肘。”这是对“ π ＝3”的诠释。但这里不是将 π 当成一种常数来引述的。

[2] 本书中所用的syncopate（简字化）这个动词，指借由省略一个词的中间字母来缩短那个词。这是特定的缩写形式，虽然大部分的缩写并非简字。19世纪中叶，德国数学家内塞尔曼（G. H. F. Nesselman）用三个阶段来描述代数记法发展的特性，他将这三个阶段依序称为文辞的（rhetorical）、简字的（syncopated）和符号的（symbolic）。

[3] 此处“类别”是指“ ax² ＋ bx ＋ c ”这样的一般二次多项式，这是韦达的用词。——译者注

定义

符号（sym·bol\′simbəl\（n-s）： 由于关系、联想、习俗成规或偶然而非有意的类似，来代表或使之联想到其他事物的某种事物。

symbol是一个复杂的词。上述韦氏字典（Webster）所下的定义，并不完全与符号使用的集体经验吻合。为了更符合本书的内容，我们必须延拓前述定义，要让符号也是，或必须是某种具有文化意义且非随意定夺的事物，某种代表一个听起来或看起来并不相似的对象或概念的事物，以及对与它相似的事物不带先入之见的某种事物。

代数（al·ge·bra\′al-jə-brə\（n-s） ：数学的一个分支，在这个分支中，算术关系被一般化，并且在探究过程中使用字母符号来表示数字、变量或其他数学对象（如向量和矩阵），以及字母组合符号，特别是用以表示符合特定法则的方程式。

现今“代数”一词有更广泛的意义，扩及加法和乘法的通用规则，以及各种各样数学对象之间的结构关系。但由于本书主要讨论18世纪之前的代数学所使用的符号，因此韦氏字典的定义是恰当的。

关于插图

全书讨论了许多阐明符号史的原始信息，且在一些例子里以插图来呈现。尽管书中用以说明的一些原始手稿可以获得达到印刷质量的扫描文件，但碍于严格法律规定，以下页面中的文本必须重新打字：第65页、第100页、第137页、第149页、第150页、第151页。

第一部分让人好奇的开端

主要的手稿与创始者

巴赫沙里手稿（ Bakhshâlî manuscript，年代有争议：400—700年）

印度人所著。

显示印度人在公元700年之前，已建立一套位值系统。

塞维鲁主教（Bishop Severus Sebokht，约575—约666年）

叙利亚人，科学家、哲学作家。

已知在印度之外现存最早提及印度-阿拉伯数字的作者。

婆罗门笈多（Brahmagupta，598—668年）

印度人，数学家、天文学家。

著作《婆罗门修正历书》（ Brahmasphutasiddhanta ，628年）已知最早把零（一个小黑点）当作一个数字，而非仅是占位符号（placeholder）。

哈伦·拉希德（Harun al-Rashid，8世纪）

波斯人，哈里发。

建立巴格达的智慧宫（Bayt al-Hikma），一座图书馆兼翻译中心，藏有从许多其他文字译为阿拉伯文的数学和哲学手稿。

阿尔-花拉子密（al-Khwārizmī，约780—约850年）

波斯人，数学家、天文学家、地理学家。

智慧宫学者。830年撰写《还原与对消计算概要》（《代数》）［ Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing （ Algebra ）］。

马苏第（Mas’údì，Abu’l-Hasan‘Ali，约896—956年）

美索不达米亚人，史学家、冒险家。

著作《黄金草原和珠玑宝藏》（ The Meadows of Gold and Mines of Gems ， 957）是一部三十卷的文集，内容是波斯、印度、犹太、罗马和其他地区的历史，提供了10世纪关于九个印度-阿拉伯数字的可靠记录。

西尔维斯特二世（Gerbert d’Aurillac，Sylvester II，946—1003年）

法国人，教皇。

学习并教授数学，设计了一种称为吉尔伯特算盘（Gerbertian abacus）的计算板，有一套使用罗马数字的位值系统。

维希拉努斯抄本（Codex Vigilanus，约976年）

西班牙文本。

一份富有洞见的手稿，包含西方手稿中最早的阿拉伯数字。

伊本·以斯拉拉比（Rabbi Abraham ibn Ezra，1089—1164年）

西班牙人，天文学家、数学家。

著作《单位之书》［ Sefer ha-Ekhand （ Book of the Unit ）］描述印度-阿拉伯数字符号，另一本著作《数字之书》［ Sefer-ha-Mispar （ Book of the Number ）］描述位值系统和零。

切斯特的罗伯特（Robert of Chester，12世纪）

英格兰人，翻译者。

约1143年将阿尔-花拉子密的《代数》翻译为拉丁文，但19世纪才被发现。阿尔-花拉子密的《代数》是已知最早介绍印度-阿拉伯数字系统的文献之一。

希斯帕伦西斯（Johannes Hispalensis，John of Seville，12世纪）

西班牙人，翻译者。

著作《实用算术的计算书》［ Arithmeticae practicae in libro algorithms （ Book of Algorithms on Practical Arithmetic ）］包含已知最早西方世界关于印度-阿拉伯位值记法的描述。

斐波那契（Leonardo Pisano Bigollo，Fibonacci，约1170—约1250年）

意大利人，数学家。

著作《计算书》（ Liber Abaci ， 1202）使用印度-阿拉伯系统，并以意大利商人的方言写成。

维尔迪厄（Alexander de Villa Dei，约1175—约1240年）

法国方济会修士和诗人。

著作《算法之歌》（ Carmen de Algorismo ）以拉丁韵文写成，说明包括零的印度数字的计算方法。

萨克罗博斯科（Johannes de Sacrobosco，1195—1256年）

英格兰人，天文学家、僧侣。

著作《算法》（ Algorismus ）是欧洲畅销教科书，讨论印度-阿拉伯数字和如何用它们做计算。

第1章文明史上最重要的发明

没有人确切知道人类是从何时开始有意识地留下记号来与他人沟通的。可以确定的是那是在蒙昧不明的时期，成群的猛犸无拘无束地在欧洲大陆游荡，各种各样的生物循着食物和植被，从非洲平原向北分布。随着史上最大的气候变迁之一缓慢地结束，欧洲的冰原已消退了数世纪。多数人类族群仍分布在南亚。

5万年前至3万年前，当时的人类必须日复一日地思索如何获取生存所需。因此深层的本体论思想——诸如“我从哪里来？我究竟为什么存在？”——这些只能通过语言和隐喻来形成的思想，不可能存在。尽管没有充分发展的语言，他们必定有述说故事的本能欲望，那是一种将意识中存留的那些图像传达给他人的冲动。这些图像可能是关于暴风雨、黑暗、野兽的想象，甚至对梦境的困惑，但这些是推动语言进一步发展所需的养分。

随着语言的发展，对于生存体验的深思也在发展。20世纪杰出的民俗学者约瑟夫·坎贝尔告诉我们，人类总是“追求一种活着的体验，使得我们对纯物质层面上的生活体验产生共鸣，那些体验正是我们自身内心深处的存在与真实，以让我们实实在在感受到活着的狂喜”。

正如多数哺乳动物从过去到现在所经历的那样，人类无须发展出语言，借由本能与智慧的某种结合，便能够在艰险的环境中生存。他们可以在没有书写记录，没有记号、标志、符号或绘画的情况下，于一个口头交流的世界中度过严冬酷暑。猴子如此，驯鹿亦同。

是什么原因让那些新石器时代的洞穴画家着了魔似的忽视日常生活的危险，坐在那里铭刻、涂写或绘画？4万多年前，西班牙城堡洞窟附近的居民把手贴在穴壁上，对着手吹颜料，大费周章地摹印出手的图案。数万年来，人类在周遭留下有意义的记号，在树上凿挖，在硬泥地上留下脚印，在皮肤上刻画，甚至在岩石上着色。

一个简单的记号可以代表一种思想、说明一个计划或记录一桩历史事件。然而，关于人类的语言和书写最重要的事，莫过于说话者和书写者可以从有限多组记号和符号，创造出实际上无限多组读音、说明、观念和想法。动物或许有自己的语言，但它们无法从有限数量的声音和姿态，创造出无限数量的沟通意符（signifier） ^[1] 。

从岩石上的猛犸彩绘到字母表的诞生，文字的发展经历许多演变阶段。图画是图画文字的线索，图画文字又成为表意文字的线索，不断演变，直到成为早期隐喻性诗歌和现代文字的线索。“象形文字”是与它所要表示之物相似的图画。在亚洲，这类文字成为现代汉字的基础。在当今世界，一幅刀叉图画可以代表餐厅，画上斜线的刀叉图画可能是一种“表意文字”：它意指禁止饮食。象形文字描绘了物体，而表意文字则通过相似或模拟来表达意义。举例来说，早期的中国人为了以象形文字来表示“家”这个字，会结合代表“屋顶”的象形字符与代表“猪”的象形字符，创造出“家”这个字。至少有3万年的时间，故事是通过图画的方式来传诵，而随着时间的推移，故事变得越来越详细复杂。

几年前，一个朋友从泰国回来，送我一幅赫蒙族刺绣“故事织布”作为礼物，那是从难民营的一名织布工那里买来的。它描绘了越南战争时期日常生活的故事。从那幅刺绣中，人们可以“读懂”生命的循环。故事里有小孩诞生、在田地里工作、坠入爱河、婚礼和新生命——整个故事没有用到任何书写的文字。

象形文字让我们轻易了解一个简单世界里的简单故事。而当讲述的故事较复杂时，问题随之产生。想象一下用象形文字来“写”的《奥德赛》会是什么样子。谁能完全读懂它？用这种方式来理解太劳心费力，对于严肃诗歌所蕴含的复杂隐喻来说也很可能过于僵化。更好的做法是使用表示语音音素的字符，这样才能分辨一句话与另一句话——a 表示“ah”，b 表示“be”，依此类推。

拥有文字是一回事，思考文字本身的意思完全是另一回事。写下句子跟说出句子截然不同，它必然出现在社会显著进步之后，出现在第一个文明发展之后，出现在国王和君主之后，以及出现在富有冒险精神的部落开始漫游到熟悉的地点之外去探险和寻求贸易很久之后。

如果你在街上问一个人，文明史上最重要的发明是什么，你可能得到众所周知的答案：轮子。令人惊讶的是，轮子到了新石器时代晚期之前仍未出现，而且可能迟至青铜器时代早期。那大概是介于公元前6000年至公元前3500年之间。1976年在波兰布洛诺西（Bronocice）出土的陶罐上，可发现最早描绘带有轮子的马车的图画。这个陶罐的年代可追溯至约公元前3500年至公元前3350年。但随着那个时期新农耕文化的发展，轮子应该是显而易见的发明——毕竟圆形的陶器和树干切面提供了极佳的线索，让人们了解滚动的圆盘状物体所拥有的巨大效用优势。可以确定的是，在真正的简易的轮子出现之前，人们已经学会了使用滚木。但轮子不仅是一个滚动的圆盘，它还涉及轮与轴结合这些相当复杂的概念。

那字母表呢？它肯定是轮子这个答案的竞争者。我将论述如果没有字母表或至少其他某种写下我们口头语言的聪明做法，大多数促进我们生活的重要发明实际上都将不复存在。诚然，那个路人或许认为，不借助滚木形式的轮子，奴隶无法建造出埃及宏伟的金字塔，而没有轮和轴，也无法打造出这个世界上高耸的石造建筑。轮子迟早会出现，但写下我们所发出的声音的某种形式，其重要性胜过一切。

现代的字母文字是对口语的一种粗略模仿。在关于字母表的任何证据出现之前，就有苏美尔人的楔形文字，其中苏美尔语里的每一个音节都是用楔形笔在黏土上刻下的独特图画。一开始，这些图画表示与所欲传达的文字发音相同的对象。这种书写方式与纯象形文字不同。幸运的是，口说的苏美尔语是一种由多音节词组成的语言，而且音节本身往往是具体对象的名称。这种文字由记号组成，每一个记号表示一个音节。举例来说，一个拿在手中的房子图画，可以意指“家庭”。

与苏美尔文字大约同时期，埃及周边的地中海地区使用象形图画文字，这种文字经历几个阶段的演变后，从图形字符悄悄演变为一种纯声音-符号系统，最终成为某种字母形式。到了腓尼基字母表传入时，大约公元前第一个千禧年之前的某个时间，世界上几乎每一个地区的众多文化都发展出运用图形符号表示文字的形式。这使文化交流成为可能，也为后世留下记录知识的工具。

和我们今日使用的表音文字不同，表音文字里每一个文字的符号代表口语的声音，图形文字是口语意义的指示物，而非声音的指示物。然而，到了公元前第一个千禧年中叶，图形文字被表音文字取代。

图画可以通过它们的声音来代表文字。在英文中，你可以借由并列一只眼睛（eye）、一只蜜蜂（bee）和一片叶子（leaf）的图画来写下“我相信”（I believe）。象形文字里的意义是通过上下文的语境来表现，就像表音文字的情况一样。然而，表音文字至少有一个胜过图形文字的重要优点：它所能表达的思想与理念的组合要多得多。人们或许也认为，作家可以在自由得多的天地发挥，创造更丰富的隐喻。

书写的需求来自需要记录记忆而非记下故事，这点并不令人意外。最早的文件是记载账目、名字、食谱和旅程。当书写的技艺传播开来，书写的理由也越来越多。人们可以想象公共建筑物上的涂鸦、秘密笔记和传给其他人的神奇处方，书写帮助人们记忆，或为人们的墓碑写上墓志铭。这类记忆和墓志铭“唤起男男女女对于生命本身更深的觉察，引导我们经历从出生到死亡的种种试炼和创伤”。

刚开始，书写是仅限于受过初等教育者的活动，多半是神职人员或受过训练的特定阶级；然而，一旦建立了一些书写标准，它会给口语带来深远的影响。来自四面八方且拥有大致相似语言、受过教育的人，能够很快分享一种共同的书写语言，因而确立了语言惯例，并且在完全不同的地域和时代之间创造共同的经验纽带。

文明和城市的发端，与神庙的建造及神职阶层的崛起，具有惊人的一致性，而那些神职阶层是从寻常民众中招募的优秀人员。原始农业生活慢慢纳入神庙生活，神职人员建立了他们的帝国。这可能是农业文化发展所带来的结果，这种文化仰赖祭司解读历法，神庙也依据历法举行季节性仪式。因此，祭司——宗教活动或祭祀活动的神职人员——统治着最早的文明。他们的神庙是观测站、图书馆、医疗中心、博物馆和藏宝室。巴比伦人在公元前1200年制作了规模相当大的星辰表，而早在公元前3000年，埃及祭司已标出恒星和星座。星图涉及的复杂计算，还有土地测量和税务，需要的不只是点算田野上羊只所用的简单小数字，而是更大的数字。

原始人类需求简单。首先，计数限于非常小的数字。牧羊人不需要计数，就能知道羊群里少了一只羊。任何猿类都能做到这点——知道族群中少了一员。知道某个东西不见了是一种质性而非量化的集合观念。事实上，原始生活不需要任何真正的数感。没有人需要知道数字是什么。

但尽管如此，出于某种看来不可思议的原因，人类——甚至原始人类——总是有一种奇异的能力，可认知在他们的文字可表达的数值之外的数字。今天的学龄前儿童被教导要背诵数字，以了解与数量相关的文字的意义。他们能轻易背出从1到10的数字。然而，背诵数字与了解那些数字的真正含义并不相同。一个三岁小孩不了解“一”“二”“三”“四”“五”这些字与一只手上的五根手指之间的一对一对应关系，或许仍能数到5。无论是发展于儿童或成人阶段，这种对应关系都是成熟运用智力的一个巨大进步。我们没有注意到这种飞跃发生的时刻。在那一刻，我们似乎不会有任何充满惊讶的顿悟体验。每只手各有五根手指这件事，似乎不会自然地让人联想到它与前十个数字的一对一对应关系。直到20世纪中叶，大洋洲几个原住民部落还没有表示数字的文字，却可以用在沙上做记号来计数。令人好奇的是，至少在20世纪之前，大洋洲、太平洋岛屿和美洲仍有一些原住民部落没有文字可以表示四以上的数字，代表一对一计数的现代数字概念尚未发展成熟。

无论在东方还是在西方，数学记录出现的年代都比文学早了一千多年。它甚至早于现存最古老的书写故事《吉尔伽美什史诗》（The Epic of Gilgamesh ），这首苏美尔诗歌写作的时间比《伊里亚特》早了一千多年。我们没有直接的证据可以知道数字的书写最早在哪里或何时出现，正如我们没有直接的证据可知书写最早从哪里或何时开始发展。有些人认为数字书写最早期的概念源于中国人，最远可追溯到石器时代早期。这种说法似乎令人怀疑。但这样的说法与可追溯到公元前3400年的苏美尔人楔形文字的数字书写，或多或少有些巧合，因此显得合理。 ^[2]

就像在法国南部和西班牙西北部洞穴中发现的艺术作品一样，数字的书写出于人类为了记录而做的努力。世界上现存最古老的书写记录之一（德国考古研究院博物馆，编号W19408，76+），看起来像是一道计算两块土地面积的练习，写于公元前第四个千禧年晚期。那是乌鲁克城（Uruk）废墟中被拿来再利用的建筑物石块里找到的一组泥板碎片，后来拼凑出这块泥板。它的碳年代测定（约公元前3350—公元前3200年）早于任何已知的书写证据，至少早于任何一种现代学者认为在语音上与口说语言相关的书写之前。

从欧洲到亚洲，在洞穴中发现的苏美尔人刻写在泥板上的数字记录，已经可以找到大如10000的数字。埃及象形文字曾用一个明确的符号来表示数字10000。到了公元前1600年，著名的莱因德纸草书中的代数问题提出一元一次方程式，除了用来表示数字的那些符号之外，方程式中没有其他任何符号。

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[1] 原文signifier是“能指”的意思，此处译为“意符”。能指和所指是语言学上的一对概念。能指意为语言文字的声音、形象；所指则是语言的意义本身。按照语言学家或者哲学家的划分，人们试图通过语言表达出来的东西叫“能指”，而语言实际传达出来的东西叫“所指”。能指与所指之间的关系是自由选择的，对于使用它的语言社会来说，又是强制的。语言能指与所指的关系是非自然的，是可以改变的。能指同时既是意义又是形式，在形式方面它是空洞的，在意义方面它又是充实的。因为空洞，能指与所指的关系有偶然性，是约定俗成的。——编者注

[2] 根据美国考古学家、史学家詹姆斯·亨利·布雷斯特德（James Henry Breasted）的研究，历史上最早注有日期的事件（公元前4241年）是埃及历法。这个历法有十二个月，每个月有三十天，表面上比我们现行的历法好。不过这个埃及历法是不是真的那么古老，存在疑问。

第2章古代人巧妙的计数办法

巴比伦人、苏美尔人、阿卡得人（Akkadian）——随你怎么称呼都行，我们早已听过他们的故事。早期西方的数学史几乎都从巴比伦人的数字概念讲起，一种所谓的六十进制（以60为基底），用以书写大数字、构成乘法表及研究天文学。但那些巴比伦人是谁，又为什么是他们最早发展出人类文明、文化、艺术和科学？

要回答这些问题，必须审视肥沃的弯月形地带，这个月牙形区域介于东地中海与波斯湾之间，并从土耳其东南部一直延伸到上埃及（Upper Egypt，尼罗河上游南方地区）。这恰恰是一个独特的地区，作为野生二粒小麦、野生一粒小麦和野生大麦的传播地，因此成为催生当地农业得天独厚的地区。特别是肥沃的弯月形地带有个地区靠近底格里斯河-幼发拉底河河谷。一般而言，Babylonian一词指称的对象远不只是巴比伦这个城市，基本上包含今日的伊拉克南部、科威特和伊朗西部部分地方的广大地区。这个地区位于两条大河之间，这两条大河在靠近现代巴格达的地方交汇，接着分流蜿蜒，直到流入波斯湾之前，在伊拉克南部的巴士拉（Al Basrah）汇流，该处恰位于科威特北方。如果看一下这些大河的地图，必然对它们的迂回曲折印象深刻。底格里斯河蜿蜒于巴格达南方，就像是一条无法下定决心要往西南还是东北游的水蛇。在一些地方——例如苏乌伊拉（Suwayrah）附近（参见图2-1）——乘船航行底格里斯河需两小时，走陆路仅需步行十分钟便能到达相同的地点。而在其他地方，走路半小时就可以到乘船得花六小时的地方。这意味着这条河两段非常长的河段之间的土地很容易灌溉，即使今日底格里斯河沿岸多数地方是未开发的农地。西方很少有陡弯急转的长河。一般来说，河流从高海拔地区往低处流。欧洲北部有陡然迂回曲折的河流——如上千公里的易北河——但北部的气候不太适合冬季作物。虽然底格里斯河-幼发拉底河河谷的地形不宜农耕，但大河的众多支流和水渠缓缓流过，非常有利于灌溉。小村庄沿着穿过巴格达南方的平缓的乡间河流形成，后来聚集成为西方最早的城市中心。最早的居民遍及这个区域时，巴格达南方冲积平原上有许多古老的支流和水渠，而今日它们已干涸消失了。

图2-1 底格里斯河靠近苏乌伊拉的河段。资料来源：谷歌地图

然而，如果你活在汉谟拉比国王的时代——约3700年前——而且想定居下来种植作物养家糊口，你能找到的最佳地点是哪里？答案是南美索不达米亚。那里有平坦的沼泽地、大片肥沃的土壤和大量野生动物，非常适合种植大麦及畜养绵羊和山羊。那里是最早的城市文明落地生根的地方。

在城市化程度和有效率的农田灌溉方面，南美索不达米亚河流及水渠沿岸的帝国城市基什（Kish）、尼普尔（Nippur）、拉格什（Lagash）、乌鲁克、埃里都（Eridu）、舒鲁帕克（Shuruppak）、乌尔（Ur）附近，都大幅领先其他区域。巴比伦位于帝国的中心，这个帝国从南美索不达米亚延伸至幼发拉底河西北弯道。

除了受益于蜿蜒的河流和农耕季节长之外，应该有其他原因让这个地方显得如此特别。是土壤、贸易路线，还是祖先血统？根据《这些巴比伦人是谁？》（Who Were the Babylonians? ）一书作者比尔·阿诺德的看法，原因既非土壤，也不是贸易路线。他论述道，埃及“与西亚其他地方大幅隔离，因为它受限于尼罗河谷所形成的狭长宜居之地”，也因此少有人入侵这块土地，这里的文化差异因而非常有限。而另一方面，美索不达米亚易受影响，因为这里几乎所有边界都一直受到不同民族所带来的丰富多样的文化影响。

巴比伦是古代世界的“熔炉”，不是因为欢迎外来者，而主要是因为它缺乏天然屏障，因此容易遭受外来入侵。南部地区广阔的平原和海湾水域都是容易进入的入口，东部和东北部的丘陵则是通往巴比伦城市中心的方便通道。半游牧民族的频繁入侵，让这里成为不断混杂交融、差异显著的多民族杂居之地。

南美索不达米亚大规模城市中心的不断发展，持续受到一个影响空前广泛的社会经济因素推动，史上第一次需要贸易和劳动方面的管理人员，以进行管治、组织和处理账务。这是之所以必须保存记录的原因，也是记账的开端。这些刻写在黏土上的账目是各种符号以及描述被记录的对象——土地、人物、家畜——的象形图案的组合。

20世纪初期，奥斯曼帝国正在瓦解，几乎无法管理次级古董的贸易活动（除了受贿与官僚掣肘之外），美国外交官、古董收藏家、小说家和巡游考古学家埃德加·詹姆斯·班克斯在公开市场上买了数百块楔形文字泥板。后来他运送那些泥板到美国，卖给许多博物馆、图书馆和收藏家。他收藏的其中一块泥板让数学史家特别感兴趣。那块泥板是在森凯勒（Senkereh）发现的，这是古巴比伦城市拉尔萨（Larsa）和乌尔附近的考古遗址，位于伊拉克南部，为希伯来人始祖亚伯拉罕（Abraham）的出生地。

1922年，班克斯以10美元（根据美国消费者物价指数，约相当于今天的130美元）将这块泥板卖给纽约出版商乔治·亚瑟·普林顿 ^[1] 。要从历史的碎片来重现文化的片段总是困难重重，如何看待“普林顿322”（Plimpton 322）也就有了许多故事版本。1945年，数学史家奥托·诺伊格鲍尔和亚伯拉罕·萨克斯提出看法，认为那块泥板有毕氏三元数组表——也就是方程式a² ＋b² ＝c² 的一系列整数解。它之所以引人注目，在于它比西方所知的勾股定理起源的时间早了一千多年，而且说明了巴比伦人必定对勾股定理略有所知。然而，任教于剑桥大学的数学史家埃莉诺·罗伯森近来提出充分的理由，解释说那块泥板是教师的教具，用来讲解关于直角三角形的问题，根本不是勾股定理的雏形。

图2-2是一块巴比伦泥板上的笔墨图画，这块泥板是约3700年前于巴比伦重镇尼普尔古城制作的。那些记号并非小鸟的脚印，而是楔形笔刻出的痕迹。当把笔插入湿润的黏土板，就会留下一个形状或形状的印记。 ^[2] 接着会烘烤泥板。

检视左列，从上往下读。我们对这种古文一无所知，但可以猜想那一列代表数字1到12。左数第二列又如何？如果我们一开始的猜测是对的（怎么可能错呢？），那么我们可以知道那一列的第一个符号表示数字9。下一个符号会是多少？它必定是代表10的符号与代表8的符号并置而成。它会是18吗？同样的道理，第三个符号看起来代表27。嗯……第二列会是9的倍数吗？往下数到第六个看起来都是对的——也就是6×9＝54。到了第七个，似乎发生了奇怪的事。那个符号看起来像是4。但它是吗？如果是，第二列就不是9的倍数表。那它究竟是什么？

图2-2 尼普尔泥板。 代表1， 代表10。重绘自R.Creighton Buck，“Sherlock Holmes in Babylon，” American Mathematical Society Monthly ， vol. 87， no. 5(1980)： 335-345. 经美国数学协会许可转载

我们注意到第七个符号左边的楔形记号与右边三个记号之间，有个小空格。如果认为第二列是9的倍数表，那么第七个符号应该是63。那个空格指的或许是，我们应该在加上那三个楔形记号所代表的数字之前，先乘上60。这样会得到正确的9的倍数。

以其他各项来验证这个假设，可以发现我们所做的推论行得通：

8×9＝1×60＋12＝72

9×9＝1×60＋21＝81

10×9＝1×60＋30＝90

11×9＝1×60＋39＝99

12×9＝1×60＋48＝108

后面两列同样成立。所以我们在这里得到一个示例，说明很早以前就能巧妙运用记法，其中“空格”作为符号使用。

我们的数字符号（即我们现今的符号）与上述符号大不相同，而且精练得多。数字72表示7乘上10再加上2。我们需要的符号只有十个数字（0，1，2，3，4，5，6，7，8，9），这样便可以表示出我们想表达的任何数字。尽管以门外汉的眼光来看，巴比伦系统似乎需要五十九个不同的记号，但其实只需要两个符号。为了表示小于60的数字，代表较小数字的符号有条理地放置在一起，几乎是一个接一个。举例来说，数字39会写成：

我们把六十一写成61，而且知道它指的不是3601。但巴比伦人如何区分61与3601？数字61表示成，数字3601则表示成。两者唯一的区别是分隔楔形记号的空格数量（中间有一个空格，而中间有两个空格）。然而，因为看不出空格的边界，很难知道记号之间有多少空格（特别是当那些记号是手写时更是如此）。这是件麻烦事。一个空格就是一个空位，而两个空格看起来可能还是像一个空位。

你或许认为，根据上下文中数字相对值的大小可以区别不同的数字，就像对上下文的理解有助于厘清语言的含混情境一样。举例来说，要区别 goats与 goat很容易：第一个记号暗示了复数，因而必定表示60只山羊，而第二个记号暗示是单数，必然表示1只山羊。根据上下文可以区分（3601）与（216001）吗？说不定可以。

必须设计出一种工具，使这套系统得以运作。从21世纪的后见之明来看，我们可以清楚了解那个工具是什么。随便画一个符号来代替一个空格——例如，那么读者便可轻易分辨与。那为什么没有这样做呢？

曾经有人做过。然而，和罗马一样，但与现代的北京不同，它不是一天造成的。必须有人想出一桩妙计。事实上，这花了一千多年的时间才实现。公元前700年至公元前300年间，有人想到了利用一个看起来非常像的符号来表示一个空格。这是占位符号的发明，也就是巴比伦人的零，尽管它并不符合现代的零的意义。从此之后，可以在不是仅依赖上下文的情况下区分与。

虽然我们必定觉得这套系统看来奇怪，但它是一套杰出的系统。只要能辨别空格，巴比伦数学家就可以只用两个符号和那个区别出空格的奇特记号，来写出任何数值的数字。 ^[3]

远在巴比伦的抄写员于尼普尔炽热的阳光下把芦苇茎压入黏土中之前，埃及人已在石头、金属和木制纪念物上雕刻象形文字。在那个时期，数字仍只是对象的简单图画，那时十的每个乘幂都用不同的符号来表示。数字1以一根垂直的棍棒来表示；数字10以一根弯曲成半圆形的棍棒（轭）来代表；数字100是一个蜗牛图形；数字1000是一朵莲花；数字10000是一根指示的手指；数字100000是某种看起来像小鸟或可能是鱼的东西；数字1000000是一个举起双手的人，仿佛因数字的巨大而手足无措（参见图2-3）。

图2-3 早期埃及的数字书写。引自Florian Cajori， A History of Mathematical Notations （New York： Dover， 1993）， 12.

有些埃及学家推测，蜗牛图形是一根卷绕的绳子，那只小鸟其实是青蛙，而那个看起来足以代表大如一百万这个数字的人其实是神。此外，因为埃及人不需要任何更大的数字，例如一千万，那个神也代表任何非常大的数量。这种数字书写是依循加法原则，永远将表示较大数字的图案放在表示较小数字的图案左边。举例来说，数字3601（从右至左）会写成一根直棒、六只蜗牛和三朵莲花的图画。这个体系运作得很好，不需要占位符号，这是明显优于巴比伦系统之处。数字3601与36001截然不同。要写36001，不需要绳子，只需要一根直棒、六朵莲花和三根手指。61与3601不会混淆。再者，36与3600也不会混淆，因为后者会用六根绳子加上三朵莲花来表示。

早期埃及的数字书写是一种加法系统。要写1005，人们只需要在五根直棒旁加上一朵莲花；然而，不能超过四根直棒，所以抄写员会把那些直棒分成两堆。在公元前第二个千禧年之后，乘法系统诞生了。要写数字2000000，抄写员会在草纸上画一个头顶两根直棒的人。但仍有许许多多谜题是埃及学家无法解答的。举例来说，在象形文字中单位分数写成图案，写成。

希伯来人有不同的体系。他们的字母表有二十二个字母，每一个字母都表示一个数字（参见表2-1）。另外还有五个字母只用在词尾。这些字母是ף，ז，ם，ד，ץ，分别代表500，600，700，800和900。

表2-1 希伯来字母表

要表示千位数，人们会从第一个字母开始，在那个字母上方放两个小圆点。因此，表示1000，表示2000，依此类推。现在这里有个诀窍。希伯来文是从右读到左，大于一千的数字会有两种写法。正如这几页讨论的所有希伯来数字体系，每一个文化的数字体系都历经数世纪的尝试和变革。到了8世纪，双字母符号表示5001。字母א原来表示数字1，但当它出现在另一个字母右边时——例如ה——是表示1000。这不会产生混淆，因为即使这些字母从右读到左，它们的数目等价结果可以理解为数值递减。因此，ה放在א的左边时，表示的是1005。

这个体系运作得很好。数字9686可以写成。请注意，字母ו出现了两次，而它被视为两个不同的数。它原本表示数字6。从右读到左，第一个ו的值必定介于ט与ח的值之间，因而必然表示一个介于80至9000的数字，因此，ו一定是600。剩余那个位置上的ו一定代表它所能表示的最小数字，就是数字6。

一般而言，符号的本质是将彼此无关联的事物的意义连接起来，以创造一种思维状态。在希伯来文中，数字15原本可以从右到左写为י（表示10的符号）加上ה（表示5的符号）。然而，以这样的方式写15，也会写下神名的前两个字母 ^[4] 。所以数字15当时（且至今仍是）写成6＋9（），而不用上述写法。

希腊人借用了希伯来系统来表示数字。他们同样以希腊字母表的字母来分别代表各个数字——这种体系在表示大数字的时候极为不便。

α β γ δ …

1 2 3 4 …

为什么他们不借鉴巴比伦系统，利用占位符号和相对简单的方式来写大数字？巴比伦人已有位值记法（positional notation）的正确概念，也就是用相同的数字来表示60的各种不同乘幂这个巧妙的想法。那些数学资源丰富的希腊人怎么会没注意到如此具有启发性的想法？从他们发展出来的一切——他们对逻辑思考、证据和证明的组织，他们对几何和无理数的理解，他们借由几何来解决数论问题的能力——为什么他们没有发现更好的数字处理方式，让算术变得更容易？一个答案可能是，某种形式的计算器大量应用于计算。

或许因为他们感兴趣的是领悟数学本身的广大领域。计算不是他们真正想追求的，尽管无疑有很多数学家也从事非演绎的数学。他们发展的是一种严格的演绎科学、证明、求解、普遍、完美，以及理解欧氏空间和充满那个空间的对象之关系，而所有这些都是利用一种相当笨拙的数系，以及在几乎完全不需要数系的精练层次中完成！

公元前8世纪，希腊人采用了腓尼基字母表，并利用它的“首字母”，从表示数字的书写文字的开头字母衍生出符号（参见表2-2）。

表2-2 希腊首字母系统

公元前5世纪，希腊人开始与希伯来人、叙利亚人及腓尼基人开展更普遍的贸易活动，而他们各有自己的字母表，于是慢慢形成了与其他系统竞争的局面。当这种情况发生时，那些擅长字母表的腓尼基人借鉴了埃及象形文字标志，赋予它们独有的读音，然后将那些读音用字母来表示，但奇怪的是他们没有用自己的字母表来表示数字，而是用一种垂直线条的系统。

公元前4世纪之后，希腊人的字母表序列数系脱颖而出，取代旧有的首字母系统。就像希伯来系统一样，希腊字母表系统成为标准规范。

要用这个系统来表示大数字是非常笨拙的。即使是阿基米德，当他撰写具有独创性的著作《数沙者》（The Sand Reckoner ）时，关于填满宇宙所需的沙粒数量的估算，凭借的是文字而非记法，才得以描述这么大的数。利用我们的记法来表示，他的解答是该数接近10⁵¹ ，远少于更正确的答案：约10⁹⁰ ^[5] 。

但这个字母表序列数系为何受到青睐？为什么希腊人舍弃首字母系统，转向字母表系统？只因为它能较简短地表示出数字吗？数字1884的首字母记法是；而用字母表记法，1884写成。记住二十七个符号所代表的数字，不是比只记六个符号难吗？是的，但随着时间过去，儿童也能记住这些数字，就像记得字母的顺序一样。

但情况并非如此。两种系统似乎存在概念上的差异。20世纪早期的数学史家弗洛里安·卡裘利在他成就极高的数学记法史研究中，考虑了下面两个算术等式（请牢记，加号和等号在16世纪之前尚未出现）：

上述等式用字母表示为：

υ＋ϛ＝χ

μ＋κ＝ξ

这里出现了选择。两种表示方法都是人类创造的，它们竞相争得必须使用它们的算术家和抄写员的青睐。两者都很难处理，只有一个胜出。为什么熟知巴比伦系统的希腊人，没有想出一种更聪明地运用占位符号的系统？为什么留给旁遮普东边的印度人来提出所有数系中最巧妙的一种？

我们可以发现，图2-4中隐约暗示了一种位值系统。前十个希腊字母代表前十个数。要表示从11到19的数，人们会写成，，，，，，，，，代表10＋1，10＋2等，依此类推。然后，要表示20到29，可以写成，，，，，，，，，，代表20，20＋1，20＋2等，依此类推。虽然里面有一些发明出来的符号，例如表示90和900的怪异符号，但创造出这套系统的人们应该已了解一个符号的放置（placing of a symbol）可标示出其值。若要在希腊人的系统里写数字23，因为那个系统中位置并未标示出值，迫使人们必须引入一个新的符号（κ）来表示20。而要在一个位置标示出值的系统里写数字23，需要的只有β，这个符号表示2，一个已定义明确的符号。当β出现在第二个位置时，它代表20，而不是2。数字23可以写成βγ。我在这里提出这点，是要说明符号系统中的记法选择，可能成为未来发展的阻碍。就像其他任何字母表数系一样，希腊体系处理小数字没问题，处理大数字却很笨拙。

图2-4 希腊字母表序列系统。表示6的字母是 ，一个草写体的 digamma ，这是一个古代字母，公元前7世纪之前从希腊字母表中消失。它看起来像用在词尾的sigma，但它的读音非常不同。当我们在第二部分谈到作为非数字符号的另一个sigma时，务必牢记这点。注意6是以 来表示，即使按真正的字母顺序应该以 表示6

这些古代的字母表不仅是成堆的各具特性的具体语言元素，也是多重意义日趋成熟的基石。公元前5世纪，希腊人相信世界上所有事情都可以联系到整数。数字2（字母β）意指看法，3（γ）是和谐，4（δ）是正义。奇数为男性，偶数为女性。数字5（ε）象征婚姻，可能因为它是第一个偶数与第一个奇数之和。而数字10（）是神圣的，因为它是前四个维度之和（点、线、三角、四面体），即1＋2＋3＋4＝10。于是我们开始了解到，这些古代数系激发了各种各样的隐喻性的思维状态。

罗马系统与希腊首字母系统密切相关，它们使用加法原则来表示大数字，并聪明地运用减法规则：当一个较小的数放在一个较大数的左边时，它指的是由大数字减去小数字（参见表2-3）。

因此，83可以写成XXCIII，而不是较长的表示法LXXXIII。理想的数字语法要求以可能的最短长度来表示数字。这个规则有很多变化。举例来说，到了4世纪，我们发现一些地方的作者会在数字的上方画上一条水平线，表示该数的千倍，所以表示10000，而不是10。在一个数字的左边和右边加上垂直线，上方加上一条横线，表示的是该数的十万倍，所以表示1000000。就像希腊体系一样，用这种方式来表示大数字极为不便。我们现在仍然用罗马数字来表示日期，可是我很想知道个中原因。

表2-3 晚期罗马数字符号

虽然阿兹特克数字与亚洲、非洲、欧洲的数字没有直接的历史渊源，但它们有相似之处。阿兹特克数字先以小圆点来代表一直到9的单位；9之后的数字变成图画形式。一根完整的羽毛表示400，所以四分之一根羽毛是100，半根羽毛是200，四分之三根羽毛是300。表示8000的符号是一个小袋子，大概装了20乘400，虽然那个袋子本身没有清楚地表示出那个积（参见图2-5和图2-6）。

图2-5 阿兹特克数字（较小的数字）

图2-6 阿兹特克数字（较大的数字）

如同其他大陆所发明的系统一样，这个系统是依循加法原则。但与巴比伦的单一基底系统不同，阿兹特克系统有三个基底：20，400和8000。例如要写26504，阿兹特克人会写成如图2-7那样。

图2-7 阿兹特克的26504写法

玛雅人（年代不详，但可能在古典期，250—900年）则采用一种类似二十进制的系统（以20为基底）。这种玛雅算术系统是前哥伦布期（pre-Columbian）的发明，而且新旧两大陆超过五万年不曾有人类接触，但是它们对加法与进位符的观念相似。这种系统类似巴比伦系统，它在点、横线和列组成的系统中，运用了零的占位功能。一个点表示一个单位，一条横线表示五个单位。举例来说，3212119会写成如图2-8所示。

图2-8 玛雅数字

从上至下表示：

1乘以18×20×20×20×20

2乘以18×20×20×20

6乘以18×20×20

2乘以18×20

13乘以20

单位层（19）

由下至上的和为：

19＋260＋720＋43200＋288000＋2880000＝3212199

这个系统让算术变得容易。要将两数相加，把它们写成两列，将它们各自的行相加，然后把所得的列加起来，采用进位的方式，就像我们现代加法系统的做法。举例来说，要把55和151相加，玛雅人会写成：

接着把每一行的数字加起来，得到：

最下方数字的四条横线会“进位”，成为下一层的一个点：

数字206很容易写，较小的数字如20反而麻烦。当单位层没有任何东西时，玛雅人不能直接在第二层放上一个点。所以他们巧妙设计了一个符号来代表该层为空，一个看起来有点像的零。于是数字20可以写成。

[1] 它是普林顿的私人收藏品，直到他于1936年去世为止。后来它被遗赠给哥伦比亚大学，现存于楔形泥板藏室。

[2] 早期的楔形标记是以芦苇刻成的，留下圆形或半圆形的印记。

[3] 在某种程度上，只使用了两个符号和。其他五十八个符号可视为这两个基本符号的组合；不过，我们往往会将每一个组合视为不同的符号。

[4] 希伯来《圣经》中以四个希伯来子音来尊称神名，即“四字神名”：YHWH（中译名为“雅威”）。文中说“神名的前两个字母”是指从右往左看。——编者注

[5] 这个数经常与阿里斯塔克斯（Aristarchus）后来利用阿基米德的方法所求得的估计值10⁶³ 混为一谈。

第3章不得不佩服的中国人

孙子曰：夫算者……稽群伦之聚散，考二气之降升……

——《孙子算经》序^[1]

地形因素加上马不停蹄地频繁往来，形成连接中国到印度与印度到波斯的东西方路线。这条路线不是筑路工人开凿而成。丝路不是一条特定的道路，而是一连串海陆路线，纵横交错欧亚，穿越六千多公里荒芜崎岖的地势，并连接其他主要是印度商人、掮客和探险家行经的路线。这条路线在公元前2世纪左右形成，连接了波斯札格罗斯山脉（Zagros Mountains）的波斯御道，邮驿人员在这条路线上传递邮件，人们也可以找到精力充沛的马来一路走到地中海。缎、丝、大麻、香水、香料、珠宝、玻璃和药品运往西方；金、银、地毯和酒运往东方。就像所有主要的商业贸易路线一样，丝路和波斯御道也是文化、宗教和哲学思想的传播路径，以及各种轻疾重症的病菌的传播路线。

哲学、科学和数学的知识，同样经由这些跨国要道传播。商业交易大多通过以物易物的方式进行，但公平的以物易物至少需要约略估算价值，了解重量与度量的换算：丝的正方形面积、金的重量或钱币的币值。一个与波斯掮客及中国掮客交易的印度人必须了解商业数学，并且能够传达及理解某种数值信息，而这可能是通过对西方数字与东方数字的描述之间的转换来完成的。

在几百年间，中国数学史已大半佚失或被毁，主要是暴君下令焚书之故，这使得西方人容易相信西方主宰了数学的起源。最古老的中国数学记录，包括最早的书写数字，可追溯至商代（公元前1600—公元前1046年）。1899年，考古学家在曾为商代首都的中国河南安阳小屯村遗址，挖掘出数以千计的骨头和龟甲。 ^[2] 此后，收集研究了成千上万新发现的甲骨。上面的数字符号记录了在战役中虏获或杀死的敌人人数、猎获的鸟兽数量、献祭的动物数量，以及许多其他功绩。

到了西汉（公元前206—公元9年）初，中国发展出了十进制计数汉字，看起来非常像今日所用的中文数字（参见图3-1）。

图3-1

举例来说，数字26999写成：

二萬六千九百九十九

我们必须称赞这个系统的精巧程度。它从左到右念成：2万，6千，9百，9十，9。毫无疑问，这是一种十进制系统。为什么它如此精巧？它完全不需要零，至少不需要以零作为占位符号。要写20009，只需要写：

二萬九

关于这点，我们真的必须佩服中国人。没有十位、百位或千位时，不要用它们就好。不需要零！

我想数学史家如果发现是哪些聪明的中国数学家提出如此卓越简洁的想法，肯定会欣喜不已，这不仅是极好的商业书写数字系统，对于土地测量和天文学来说也是好用的概念。可惜的是，由于战争、焚书和手稿损毁，连主要是哪些人提出这个概念都几乎一无所知。

这种巧妙的数字系统让中国人得以“命名”大数字，但要做实用算术还需要其他某种东西。于是，中国人又发明了一种了不起的系统：算筹。

远在第一个千禧年之前，中国人就普遍运用兽骨或竹子做成的算筹来代表数字一到九（参见图3-2），这个系统是一个以十为基底的位值数系。那是一种非常像我们今日所用的十进制的纵筹和横筹组合，只是其中仍然没有零的占位符号观念。

图3-2 中国算筹^[3]

命名数字和手指计数在表示小数量时可能没问题，但进行加、乘、除需要做某种移动和移除：书写、划掉和改写。在公元前1世纪没有便宜纸张的时代，一连串计算过程中可以快速移动和移除的算筹是最有效率的方式。就像印度-阿拉伯系统一样，中国的书写数字与算筹数字都是位值制，而且使用方便，不只用来表示数字，也有助于计算和数学概念的理解。

算筹使用方式的知识，在汉朝（公元前202—公元220年）的《九章算术》手稿中已出现，这部收有两百四十六道问题的巨著写在传统的竹简上。史学家认为这是中国最早完整收录此前所有已知数学知识的文本，一本货真价实的中国版欧几里得《几何原本》，其终章——即使不是欧几里得公理逻辑系统意义上的证明——提出一个对于勾股定理的严谨且可理解的说明。中国人研究数学的方式是，借由例子、模拟、不亚于欧几里得有效性的证明（或至少是说明）来展开。

不幸的是，它就像公元前第一个千禧年的几乎所有的书一样，没有原书的完整复本留存，可能是毁于秦始皇以弃旧迎新的荒谬托词下令焚书，虽然更可能的原因是，就像所有缺乏安全感的暴君一样，秦始皇想删除任何会把他的统治拿来与过去的皇帝做比较的证据。然而，幸运的是，我们有公元263年版的《九章算术》，这是张苍和耿寿昌在公元前1世纪编纂的。刘徽为该书作注并增补。他在序中写道：

徽幼习九章，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源。

两位杰出的中国数学名家——新加坡国立大学的蓝丽蓉和澳大利亚伊迪斯科文大学的洪天赐，在两人合著的《雪泥鸿爪溯数源》（Fleeting Footsteps ）中告诉我们，印度-阿拉伯数系可能源自中国算筹的推测不是毫无根据。

算筹可以想成摆放在一个平坦表面，也就是一块计算板上的牙签。许多早期的中国数学文献，让我们得到关于中国算术的一些启发——特别是公元四五世纪的《孙子算经》，书中以纵筹和横筹来表示数字。红筹为正，黑筹为负；把算筹放进（或移出）计算方块，以进行加减乘除的运算。

算筹是一种位值系统，举例来说，数字26999写成：

这与我们的印度-阿拉伯十进制系统极为相似。问题出现在想表示2600999这样的数字时。这个系统还没有零的占位符号观念。原始的印度-阿拉伯十进制系统没有代表零的符号，但的确有一个表示空位的字（印度文是sunya ，阿拉伯文是.sifr ）；中国算筹也是利用一个空格来作为占位符号，中文以“空”这个字代表空位。就像巴比伦系统的做法，空位有重要意义，但用手写表示时，空白处往往会产生歧义。图3-3的中国算筹数字指的是2600999还是260999？

图3-3 2600999还是260999？

关于这点，中国人同样富有创造力。请注意，万位的6与百位的9之间有一个空位（一种零）；然而，可以确定这个数字是260999而非2600999，因为算筹的摆放方向随不同位数交错。表示6的算筹与表示9的算筹方向相同；中间跳过的部分意味着6与9之间有一个零。要写26000会有一点小麻烦，但简单的解决之道是写成一千，解释为“26千”。

还记得古巴比伦系统如何用一个空位来作为表示零的占位符号，以及用两个空位来代表两个零吗？中国的系统巧妙利用摆放方向交错的方式，避开了这种情况。因此，若两个零被夹在6与9之间，6与9的摆放方向就会显示出来。

多么聪明呀！这是正反阴阳的观念。这种有效的小伎俩也有助于区别两个零与一个零。图3-3所示的数字是260999。数字2600999以不同的写法表示：

看起来6与9之间似乎有两个空位，这让此数为2600999，但我们是检视算筹的交错摆放方向来确定这一点的。

如果6与9之间只有一个空位，2和6的摆放方向应该与图3-3所示的相同。这个系统在区分26990与2699时特别有用。前者表示为：

而后者为：

另一部重要的数学著作是《筭数书》。1983年，考古学家在中国中部发现的一座古墓中找到包括该书在内的文物，这批文物自公元前1世纪尘封至今 ^[4] 。当时发现了近两百片竹简，连接起那些竹简后形成《筭数书》，里面有同样精巧的算筹，但多了某种东西：一种用于算术计算的矩阵系统 ^[5] 。图3-4解释了如何以9除6538。

图3-4 以9除6538。资料来源：Philip D. Straffin Jr.， “Liu Hui and the First Golden Age of Chinese Mathematics，” Mathematics Magazine ， vol. 71， no. 3 (1998)： 164. 经美国数学协会许可转载

在方块a中，第一行是空白，就像我们现在使用长除法时最上面一排会空白一样。第二行表示6538。第三行的9放在百位数列5的下方。注意方块b中，65除以9的计算结果是记入7。因此，在方块c中，取走6和5，并在百位数列代入余数2。整个计算过程，正如同用我们现在的印度-阿拉伯数字来做长除法一样。

利用这种算筹系统进行的算术基本运算与利用印度-阿拉伯系统进行的运算完全一样。公元前4世纪开始，中国的商人、科学家和旅行者就使用算筹，一直到16世纪，算盘取代了算筹系统。7世纪时，算袋是武官的标准配备。《孙子算经》明确详尽地说明了如何用算筹进行乘、除、开平方和开立方的计算。《孙子算经》中关于乘和除计算的说明，与阿尔-花拉子密的算术著作中那些关于印度-阿拉伯数字计算的说明相同。两种系统中对计算的描述几近一模一样，使得一些专家认为我们今日的印度-阿拉伯系统，可能是从中国传至印度的。《雪泥鸿爪溯数源》的两位作者如是说：“这是唯一已知在概念上与印度-阿拉伯数字系统完全相同的数值系统。”

对多数古代文化来说，代表前三个数字的符号不是水平线就是垂直线，很可能是从手指或木棒的形状演化而来。到了代表四的符号时，通常不会看到四条垂直线或四条水平线，而是线条的组合，可能是四条线。对一些文化来说，在数字六之前，不会发生从并行线记号转换为其他组合的情况。中国的数字系统是最古老的系统之一，而我们可以在这个系统中发现一种手指计数或木棒计数的逻辑过程。代表六的符号不应该是六根垂直木棒，因为如果不数一数，很难分辨五根垂直木棒与六根垂直木棒——数字符号的要点是，不需要数。这与当代的计数符号非常类似，以四条垂直线和第五条水平穿过的线来作为5的记号。

小孩远在领悟颜色的意义之前，就知道了彩虹的颜色。数词（number words）与数概念（concept of number）的情况也一样。若被要求发明一个未曾见过的数系，你我可能想出一种希腊式或希伯来式系统。这样的发明很寻常（近乎自然），却像早期的台式计算机一样很难用。

远在任何人想到利用一种基底系统来书写数字之前，数字是写成记号，往往是五五成组。只要组数不是太大，其实不需要用个别的符号来代表数字。没有文字或符号来表示这样的“组数”的基数时，“不是太大”究竟是什么意思？这样的系统在如十个或二十个记号时没有问题，但个别数字没有名称或图画，这个系统在大计数时会失灵。

最近，我无意中听到两个孙女的一段对话。五岁的莱娜问十岁的堂姐苏菲说：“为什么我的右手有五根手指？”苏菲的回答棒极了。“这样我们才能正确数数。”除了小孩，谁能想出如此绝妙的本末倒置的答案？

在柏拉图的一篇短篇对话录中，一个雅典人极富智慧地问我们如何学会数数：

我们如何学会数数呢？我问你，我们如何发展出一与二的概念呢？宇宙的机制如何赋予我们人类了解这些概念的本能呢？还有许多其他的生物，它们天生的本能，不足以使它们发展出我们人类从天父那里学到的数数的能力。但是，以我们的情况来说，神在创造人类之初，便赋予我们理解世界面貌的能力，并且向我们展现他仍在不断展现的景致。

纯数学依赖“数”的意义。从几乎第一次接触数字开始，我们就能正确了解数字，而且在我们知道数字真正的意思之前就轻松自如地使用它们，这不是很了不起吗？那个雅典人论述道：

请回想我们十分公正的观察，若是数字从人类中禁绝，我们永远不可能有智慧。这是因为，如果一个生命没有理性的论述，他的灵魂就无法获得完整的德行。一个生命如果不能认得二与三，奇与偶，且对数字全然陌生的话，他就不能对事物做出理性的叙述，而只能对事物有感觉与回忆，虽然不会有任何事情可以阻止他拥有其余的德行，比如勇气与节制。

我们可以定义我们所谓的数是什么。但无论我们如何定义数，它的意义必须导向正常世界，那些与我们已经特意建立的原则一致的世界——和我孙女的看法一样，罗素的名言应该是正确的：“我们想拥有十根手指、两只眼睛和一个鼻子。”

[1] 这段引言出自《孙子算经》序，原文误认为出自《九章算术》。——译者注

[2] 一般认为，光绪二十五年（1899年），晚清官员、金石学家王懿荣发现甲骨上的甲骨文，这些甲骨文来自今日被称为“殷墟”的小屯村商代晚期遗址。——编者注

[3] 上一行为算筹纵式，下一行为算筹横式。用算筹表示数字时，从右边开始，先纵后横，纵横相间。此处作者将纵式、横式分别视为个位数与十位数，显然不对，因为纵式可能代表百位，而横式可能代表千位，等等。——译者注

[4] 陪葬的墓主年谱最后一年为西汉吕后二年（公元前186年），因此考古学家与历史学家断定这是《筭数书》抄写的年代下限。有关《筭数书》，可参考洪万生、林仓亿、苏惠玉、苏俊鸿合著的《数之起源：中国数学史开章〈筭数书〉》，台湾商务印书馆，2006年。——译者注

[5] 此处作者所谓的矩阵系统（matrix system）意义未明。不过，如果它是指涉《九章算术》（以原注13内容为例），那么《九章算术》第八章的“方程术”，就是表现成矩阵形式的联立一次多元方程组之高斯消去解法。——译者注

第4章印度送给世界的礼物

有些婆罗米（Brahmi）小数字（参见图4-1）在轮廓上与我们现代的小数字很相似。然而，婆罗米系统的概念非常不同。它不是一种基于十的乘幂的位值系统。相反，它比较像一种字母基底的数值系统，即使相当小的数字也需要用长串相连字符来表示。

图4-1 婆罗米数字

曾经有一段时间，人们推测该系统中用来表示4之后的数字的图案，来自首字母的形式，或是源于公元前3世纪婆罗米字母表的数词音节。但它们也可能来自更古老而无法追查的数值符号。一个较可能的来源是梵文的天城体书写体，这种文字刚开始是旁遮普的一种口语，后来扩展为“吠陀”（知识）的语言，这种书写媒介用来撰写通常为韵文形式或称为格言的短句形式的宗教赞美诗和祈祷文。数字对那些吠陀来说是不可或缺的，吠陀经常提到印度神祇的成就，他们摧毁了九十九座城市或赠送了六万匹马。有些吠陀文本记述了几组像是兆这种大数。后来吠陀被视为神圣的知识，包括对每日献祭的详尽天文时间测定的说明。而有些吠陀利用十的连续乘幂来描述大数字。

不幸的是，由于恶劣的亚热带气候，公元前第一个千禧年之前的印度数学遗产多半难以追溯。由于考古线索极少，印度数字的起源必须仰赖仅存的少数以石刻形式留存下来的记录。所以我们的数字如何演化发展的故事，仍然非常不确定。然而，那些使用了十进制位值数字的石刻碑文有一些提供了某种证据，说明古印度人很熟悉一种位值数字系统。

虽然这么说可能有点夸张，但检视梵文书写的数字之后，似乎可以猜想，那些数词的某些字母组合，很可能暗示了现代书写体在早期发展过程中的形状演化（参见图4-2）。

图4-2 印度-阿拉伯数字vs. 梵文

图4-3 现代印度-阿拉伯数字演化表。重绘自Karl Menninger， Number Words and Number Symbols：A Cultural History of Numbers ， trans. Paul Broneer (Cambridge， MA： MIT Press， 1969)，418.

这些数字让我们较全面地了解位值系统，以及一个将零视为数的系统。在位值系统中，数字依据它们彼此之间的相对位置而有不同的值。今日全球科学界已采用印度-阿拉伯系统。然而，在中东和远东使用的一些符号或多或少存在差异。东阿拉伯或印度语系的符号，在今日的巴基斯坦和伊朗使用。其他系统如日文，兼用印度-阿拉伯数字和汉字，阿拉伯数字横写，汉字直写。再者，汉字数字还有一种特别的书写形式，称为“大写” ^[1] ，用于法律和财务文件，以防有心人添笔篡改，例如把二改成三。

图4-3表示我们现代的印度-阿拉伯数字的部分形态演变，这样的演化始于婆罗米数字。

历史往往难以明确界定，通常也不是线性发展。现代数字的形态演变，远比图4-3所示的过程更令人震惊。一个难解之谜是，从早期的书写体到今日的书写体，并不存在明确的血统关系。书写用的材料和工具，以及抄写过程中的错误，必定影响了这些数字的形状，使其与原始样貌大不相同。

我怀疑数字符号的设计和演化源于手指计数，不过没有任何确凿的证据。想象我们身处亚伯拉罕时代的乌尔城，要去市场买一条鱼。你可能会举起一根手指，表示你只想买一条鱼，或举起两根手指表示想买两条鱼。你的手的方向可能是垂直的或水平的。因此，代表“2”的符号可能以两根垂直的手指或两根水平的手指来表示，那些手指记号很快被描绘成水平的两杠，而随着时间流逝，为了能够更快速地书写，字体彻底变形，结果变得像现代使用的符号。

我们不知道婆罗米系统的真正起源，也不知道其他许多没有留下的历史记录的中间演化过程。公元前3世纪的婆罗米系统，是来自婆罗米字母、其他某种字母、古老的埃及数字、一种更早的印度河文化，或者来自更远古的数字吗？而瓜里尔数字这种位值系统，是否如同数学史家蓝丽蓉所宣称的来自中国？她认为到了1世纪，中国人已有了一种十进制位值系统，有九个记号和零的概念。

乔治·约瑟夫在其著作《孔雀之冠》（The Crest of the Peacock ）中告诉我们，除了巴比伦人精巧的六十进制（以60为基底）位值系统之外，我们现代的位值系统完全来自印度。然而，罗伯特·卡普兰在他的著作《从零开始》（The Nothing That Is： A Natural History of Zero ）中告诉我们，我们今日所用的系统是印度制，但它们起源于希腊。没有坚实的文献证据，无法填补这些历史空白。我们确实知道的是，不知何故，也不知何时何地，精巧的位值概念由印度人传给阿拉伯人，后来再传给欧洲人。

法国数学家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）曾经信心十足地说道：

印度给了我们能表示出所有数字的巧妙方法，利用十个符号，每个符号代表一个位值，以及一个绝对的值；一个深刻而重要的概念，以如此简单的形式出现在我们眼前，使得我们忽略了它的真正价值。但由于它的简易性和它适于所有计算的便利性，使得我们的算术成为最有用的发明；而当我们想起阿基米德和阿波罗尼斯（Apollonius）这两位古代最伟大人物的非凡才智都没能发现它时，我们必须更加赞赏这份显赫的成就。

东阿拉伯数字仍在埃及东边的阿拉伯国家使用，那里将这种数字称为印度数字。在摩洛哥，使用的是西阿拉伯数字（戈巴尔数字），这种数字称为阿拉伯数字。 ^[2] 尽管没有直接的证据，但尖点体数字与戈巴尔数字相似 ^[3] ，且似乎源于印度。戈巴尔数字来自印度，但尖点体仍是一团谜。20世纪早期，德国数学史家莫里兹·康托尔宣称，波埃修斯（Boethius）从戈巴尔数字创造了尖点体，并宣称早期印度数字传至亚历山大城的时间是在4世纪末两地的贸易终止前。 ^[4] 康托尔还声称，印度数字（没有零）在阿尔-花拉子密的《算术》（Algorism ）被翻译成拉丁文之前，已传到欧洲超过一个世纪的时间，而它传入的时间是11世纪。

虽然从东方到西方有许多不同的形式，我们必定想知道，在它们从印度往四面八方传播的过程中，从一种文化到另一种文化，从一个国家到另一个国家，在超过一千五百年的时间里，它们的基本书写形式为什么几乎没有任何改变。关键是，虽然符号本身看起来或许不同，但婆罗米系统之外的每一个系统，都使用了位值来表示10的乘幂和零。婆罗米系统并非一种发展成熟的位值系统。它包含了代表10，20，30，40……90及100，200，300，400……1000的不同符号。婆罗米人不会将两百二十二这个数字写成，它在位值系统中会表示成。这是因为是婆罗米系统中代表200的符号，则是代表20的符号。

问题仍未解决：西方世界这个带有零的数字系统是如何诞生的呢？为了解答这个问题，我们应该先回到手指计数、计算用沙板和算盘的时期。

在第二个千禧年前半叶，商人利用弯曲手指来计数和做简单的算术计算。商人举起他的手，手掌朝外，表示数字（参见图4-4）。

图4-4 手指计数，引自帕乔利于1494年出版的《大全》（ Summa de Arithmetica ）一书

如图4-4左边第一列所示：

要表示数字1，只把第五根手指半弯；

要表示数字2，只把第四根和第五根手指半弯；

要表示数字3，只把第三根、第四根和第五根手指半弯；

要表示数字4，只把第三根和第四根手指半弯；

要表示数字5，只把第三根手指半弯；

要表示数字6，只把第四根手指半弯；

要表示数字7，只把第五根手指全弯；

要表示数字8，只把第四根和第五根手指全弯；

要表示数字9，只把第三根、第四根和第五根手指全弯。

仍然是使用左手，以一组不同的符号来表示从10到90的数字。举例来说，要表示10，将食指指尖置于拇指的底部，让手指的形状看起来像希腊字母δ，它代表的是10这个数字。

这种手势符号不过是语言不通的商人之间的一种表示数字的肢体语言，因为它并没有发展出算术计算方法。纽约商品交易所、美国证券交易所和其他证交所仍使用这种手势信号，“公开喊价”时手势信号代表买卖的指令：交易者举起手指，手掌向内表示要买，手掌向外表示要卖。利用这种复杂的手势，可以表示各种各样的交易。

这让我想起大概五十年前在委内瑞拉奥里诺科河的卡布鲁塔的一次冒险之旅。一个市集日早上，我早早醒来，发现大家都到村子广场喝咖啡。帕内里人，那个地区的原住民，贩卖着鹦鹉、猴子、虎猫和淡水豚。我学到帕内里语中用来表示身体部位的词可用以代表数字。表示手的词代表五；表示“另一只手”的词代表六；表示“两只手”的词代表十。而其他的身体部位，诸如“脚”“另一只脚”和“两只脚”则代表更大的数字——我记不清了，但我想是代表11，16和20。

人类发展出加和乘的能力，必定始于某种标记体系，无论是来自手指计数、小石子计数还是某种更富想象力的东西。计数发展的早期阶段应该是通过具体的方式，逐一地指向对象。在阿兹特克人遗留的语言里，他们使用了一块石头、两块石头、三块石头等的数字。南太平洋语言则是数一个水果、两个水果和三个水果。然而，随着时间推移，计数——利用诸如手指、石头、水果和谷物这类具体对象——发展进入抽象的阶段，此时计数的对象的特性已不再重要。这就是数学。借由重复数手指或某种其他标记体系，形成数的抽象概念。

我们有强有力的证据证明，所有的数系都是从数手指、脚趾和身体其他部位演化而来。儿童数数时自然地使用手指，与数字一对一对应。对算术的发展来说，或许这是至关重要的过程。

生活在新几内亚偏远高地的原住民部落亚浦诺，使用一种可以计数到三十三的精巧系统。这种系统依某种特定的次序来数每根手指，接着是以身体部位来计数，交替地从一侧到另一侧。亚浦诺计数系统有一项明确的优点。美国小孩数手指时，是从拳头开始一根一根伸出手指，直到数完为止。最后，他们所伸出的手指头数量便是答案。它没有预先确定次序，小孩在计数时可以从任何一根手指开始，随意伸出其余任何一根未伸出的手指，即便其中存在某些文化标准。由于亚浦诺系统需要以明确的次序来计数，它的优点是最终的答案仅与最后数到的那个身体部位有关。

回到过去那个在市集中书写仍不太方便、普遍采用手指来计算的时代。美国数学家大卫·尤金·史密斯（David Eugene Smith）根据20世纪20年代发现的历史证据写道：“数字记法的一般目的，是当彼此不了解对方的语言时，有助于大笔国际交易的谈判过程，记住算盘计算的数字，并执行简易计算。”现存关于古代手指计数的唯一完整记录是《利用手指计算与谈话》（De computo vel loquela digitorum ）抄本。8世纪本笃会僧侣圣比德（Venerable Bede）撰写了这部著作，他在中世纪学者中以计算每年变化的复活节日期而闻名，这个日期被设计为绝对不与犹太人的逾越节同一天。由于所有其他的教会节日都依复活节而定，圣比德的计算更显重要。圣比德说明了如何只利用屈伸手指，来表示1到100万之间的所有数字。从手指记法发展到手指计数，并进一步发展到手指计算。的确，将两个数相乘时，我们并不需要知道5×10以上的乘法表。小数字相乘可以简化成数手指，乘上10并加上100。举例来说，将6乘以8时，两个数各减去5，得到1和3。左手伸出一根手指，右手伸出三根。数伸出的手指（1＋3＝4）并乘上10，得到40。现在，将两手弯曲的手指相乘（4×2＝8）并加上前述的40，得到48。 ^[5] 要将11至15之间的两个数相乘，两个数各减去10；以伸出的手指表示减完后的两个数。数双手伸出的手指并乘上10。将此结果加上两手伸出手指数的乘积，然后加上100。举例来说，要将12乘以14，两个数各减去10，得到2和4。左手伸出两根手指，右手伸出四根。数伸出的手指（2＋4＝6）并乘上10，得到60。将两手伸出的手指数相乘（2×4＝8）。将100，60和8相加，得到168。 ^[6]

16世纪的文本显示，当笔算行得通时，这种简单的乘法如何进行。它们甚至指出乘法符号的起源。如果想将6和8相乘，从10各减去6和8，得到4和2。此时，如下图所示，将这四个数写在正方形格子上。为了得到答案48，从6减去2得到4，放在十位数那列。接着，将右列的两个数相乘，得到8。

英国神经心理学家布莱恩·巴特沃斯在《大脑如何与生俱来就能做数学？》（What Counts： How Every Brain Is Hardwired for Math ）一书中提出一个问题：为什么左顶叶（大脑中掌管手指活动的区域）也是大脑中掌管计算的区域？移动手指之于计数，是否如同眼睛之于看的必要性？若是如此，巴特沃斯提出的问题“计算能力是否源于我们用手指来计算”便有了答案。他推测这是对的。为了得出答案，我们需要将更多手指谜题放在一起思考。加拿大神经外科医师韦尔德·潘菲尔德著名的运动皮质（大脑控制身体运动功能的部分）图显示，控制身体相邻部位的细胞，在运动皮质中也是相邻的。

但不仅如此。需要做更复杂移动的身体部位，占据了大脑大范围区域。身体中较小的部位需要更错综复杂的移动，例如手指。相较于如手臂等较少错综复杂移动的身体部位，手指在运动皮质中占据更大的区域。另一项重要的考虑，来自关于阅读盲文（即用手指阅读）的人的极其惊人的研究结果。他们掌管手指运动的运动皮质，占据了大脑中更大的区域。弹钢琴的人的运动皮质，是否出现同样的现象？那么法庭速记员呢？

所以，我孙女或许终究是对的：我们每只手有五根手指，因为“这样我们才能正确数数”。

手指计数的原理延续到卵石标记的方式，继而很可能带来沙板计算和算盘的发明。我说“很可能”，是因为除了一些晚期的历史传说之外，没有可信的证据支持这样的说法。但这是值得深思的想法。数一百颗卵石，比数一百头四散放牧的绵羊容易得多。而数十堆卵石，每一堆有十颗，也比数一百颗卵石容易得多。埃及人、希腊人和中国人利用不同大小的卵石，运用这类卵石计数的技巧进行日常计算。同样大小的每一颗卵石，代表一堆较小尺寸的卵石，例如十颗卵石表示的是一百颗更小的卵石。后来这个系统演化为一种不需区分大小的形态，因为卵石计数者学会利用不同的位置，来放置代表十的卵石和代表一的卵石。

这看起来或许并非极为先进的思想，但它促进了算盘概念的发展。早期的算盘仅利用了卵石计数体系，当中的卵石是直线排列的：一条线代表一，一条线代表十，一条线代表百……一堆有四百二十三颗的卵石可能不容易数，但如果每一颗大卵石代表一百，每一颗中卵石代表十，每一颗小卵石代表一，那么四颗大卵石、两颗中卵石和三颗小卵石，就代表423（参见图4-5）。

图4-5 画在沙上用卵石计数的线。资料来源：Georges Ifrah， The Universal History ofComputing： From the Abacus to the Quantum Computer (New York： John Wiley ＆ Sons，2001)， 11.

沙板看起来更像是小型的沙盒，之所以使用沙板，是因为这种方法在计算时需要移动数字，并且擦掉计算过程。这种沙板就像百年前语法学生所用的石板和板擦，又或者现在所用的白板，计算过程中会在板子上写下、移动或擦掉数字。

计算板可远溯至巴比伦时代。然而，除了几件来自希腊的样本，我们没有实际的样品。1846年，希腊萨拉米斯岛上发现了一块白色大理石平板（现藏于雅典国家考古博物馆），板上刻有平行列。它为我们提供了直接的证据，证明使用卵石的计算板，至少可回溯至公元前300年。借由大流士花瓶这项间接证据，我们也证明了计算板至少可远溯至公元前4世纪（参见图4-6）。

图4-6 大流士宫廷的王室司库和他的计算板，公元前4世纪。图中站着的男人带来了战利品，这里的算子未成列放置，而是直接放在代表数值排的符号下方。司库的左手拿着某个看起来像iPad的东西，那其实是一个记录算盘上依序求得的数量的垫子。资料来源：大流士花瓶局部（国家博物馆，那不勒斯）

从巴比伦人、希腊人和罗马人的计算板来看，数字表示法遵循了位值法则。他们没有代表零的符号；没有任何一个计算板需要，因为空的一列可以表示有一个位阶没有数值。这个概念带来接下来的发展：将珠子穿在直线上，亦即更现代化的算盘。

罗马算盘上有金属球滑动槽。 ^[7] 图4-7的算盘上有八个十进制值，（从右到左）标记着I，X，C，∞……分别对应个、十、百、千……一直到百万。暂时略过图4-7右侧的前两个滑动槽。 ^[8] 标记上面是单个金属球，或在各个槽上滑动的算子。如果要表示小于5的数字，算盘师傅就将相应数量的算子，往字母标记移动。如果要表示5至9之间的数，算盘师傅会先将对应那个数的单个算子，往上移动至表示5之处，接着往上移动那一列的其他算子，直到表示出所要的数。所有小于一千万的数字，都可以用这种方式表示。举例来说，图4-8说明了5372这个数字的表示方法。

图4-7 罗马算盘的现代复制品

图4-8 数字5372在算盘上的表示方法

显然受到这种算盘的启发，10世纪时西方的数字会写成依数字次序排列的罗马字母。例如，5372会写成V.III.VII.II，模仿图4-7的算盘中标记∞，C，X和I的四个槽里的算子。

接着是吉尔伯特的计算板。吉尔伯特于950年出生在法国中南部的奥弗涅，在欧里亚克圣哲拉的修道院接受教育。967年，他离开修道院，前往阿拉伯统治下的西班牙旅行，在那里的三年间，他研读数学、学习阿拉伯语，并熟悉了印度数字。他回到兰斯后，获得教堂学校的职位，教授数学和算盘计算。他的职业历程相当有趣——教学，接下来的职位是：先担任大修道院院长，接着是大主教、神圣罗马帝国皇帝奥托三世之子的家庭教师、教宗顾问，最后以非常年轻的四十九岁之龄成为教宗。他的原名是Gerbert d’Aurillac，在迈入新千禧年之前的厄兆年，他成为教宗西尔维斯特二世（Pope Sylvester II）。

10世纪晚期至12世纪中叶，吉尔伯特算盘一度广受欢迎。我们对原始的吉尔伯特算盘所知甚少（没有任何吉尔伯特算盘留存至今），但一些新近发现的手稿被认为是吉尔伯特算盘的具体范例。最近在东卢森堡的埃希特纳赫的本笃会修道院发现的埃希特纳赫手稿（Echternach manuscript，约1000年）便是一例，而在英格兰剑桥的托尼修道院发现的“复活节计算表”手稿（Computus manuscript，约1110年）则是另一个例子。

检视这份“复活节计算表”的一页，我们发现一块计算板的各列是依照10的乘幂的等级来排列的。在图4-9中，右数第六列顶端，在下方，我们发现一个单一的“算子”表示5（在真实的中世纪计算板上，那是一个看起来很像的符号）。吉尔伯特计算板上的原始算子是以兽角尖刻成，可能因为每个算子类似有顶点（apex）的圆锥形状，所以称为“尖点体”（apices）。 ^[9] 那些尖点（体）标记着奇怪的符号，看起来很像我们今日的印度数字（如图4-3印度-阿拉伯数字演化表从上往下的第四层）。虽然雕刻的兽角只是出于美学设计，在算术上没有特别的意义，吉尔伯特仍热切地在兽角上打造出无数尖点，而在他之后的其他算盘工匠制作出他们自己的算盘，他们所用的罗马算盘算子材料包括象牙、金属或玻璃。

图4-9 吉尔伯特计算板上显示的尖点5，3，7和2，代表的乘幂依序是 、、X(=10² )、I(=10¹ )。Computus manuscript. Written at Thorney Abbey， Cambridgeshire， ca. AD 1110.Oxford， St. John’s College MS 17 Fols. 42r. 资料来源：http：// digital.library.mcgill.ca/ms-17/folio.php?p=42r＆showitem=42r_8Math_1cHinduNumerals#. 经牛津大学圣约翰学院院长及其他成员许可复制

用一个带有符号标记的单一对象取代一组特定的卵石，这个想法很新颖；那些尖点体在西方首次出现。对于利用印度-阿拉伯数字来思考的我们而言，吉尔伯特计算板或许看来像是从罗马计算板自然发展而成的产物，但在当时，这是符号发展史中罕见的一次大飞跃。吉尔伯特想必听闻过阿拉伯构想那种令人惊叹的可能性。他应该已经意识到，利用新的数系进行笔算所带来的优势，但他的计算板仅作为计算工具，没有笔算的需求。因为西方未确切理解新数字的真正意义，吉尔伯特的门徒持续使用那些神秘的符号，并未注意到它们真正的潜在力量。

那些相同的符号展现了多样化的形式，有时旋转不同的角度，就好像毫不在意它是否正确地朝上或朝下。这可能是这种计算板的本质所造成的结果，计算板没有严格的方向规定，也没有任何既定的正确用法——一位算盘师傅与一个从计算板另一边看的人，所看到的可能不尽相同。在图4-9（“复活节计算表”手稿）中，数字3和8在同一份手稿里可以看出有两种不同的书写方式。但无论写成哪一种形式，整个系统是相同的，都只有九个符号，每个数都可以表示出来，而且每个数都可以描绘出来，不需要将画笔从计算板上移开。

10世纪至12世纪间，计算板是一张羊皮纸或一块开槽的板，其中垂直的列依10的乘幂排序，这种计算板是西欧学习实用算术的主要方法。吉尔伯特算盘的程序称为“算法”，用鹅毛笔和羊皮纸来进行模拟。

[1] 即壹、贰、叁、拾等。——编者注

[2] “戈巴尔”是对西阿拉伯数字的称呼。Gobar这个词源自阿拉伯文ghubar，意为“尘土”。它指古代在泥土或沙土上做计算的形式。

[3] “尖点体”的原文是apices（apex的复数形式），这是个极含混的词。——译者注

[4] 值得注意的是，在这几段中引述的权威学者的看法，多是从大量不同的来源汲取信息，其中很少是今日史学家认为可靠的资料。

[5] 这行得通，因为 ab ＝［（ a －5）＋（ b －5）］×10＋（10－ a ）×（10－ b ）。

[6] 此式成立的依据，来自代数恒等式 ab ＝［（ a －10）＋（ b －10）］×10＋（ a －10）×（ b －10）＋100。一个类似的方法对任意两数也行得通，但会变得更复杂，因为两只手都可能必须伸出超过五根手指。这个想法是利用公式 ab ＝［（ a － c ）＋（ b － c ）］× c ＋（ a － c ）×（ b － c ）＋ c² ，其中 c 是数字应该化简的量，以便将乘法运算降到一个可处理的数字上。不幸的是，较大的数字需要知道如何求 c 的平方。

[7] 已知的罗马算盘只有两个，一个在巴黎的纪念章陈列馆（Cabinet des Mé-dailles，法国国家图书馆），另一个在罗马的戴克里先浴场博物馆（Museo delle Terme Diocleziano）。

[8] 右数第二个槽里有五个算子，表示一盎司的倍数，每一个算子代表一盎司。在较短的槽里的算子代表六盎司。右边第一个槽分成三部分，表示半盎司、四分之一盎司和三分之一盎司。

[9] apices这个词在中世纪盛期的计算文本中出现时，意义含混不清。它有时指吉尔伯特算盘本身，也被称为毕达哥拉斯弧（arcs of Pythagoras，尽管毕达哥拉斯当时没提过这类想法）。有时它更恰当地意指算子本身，算子是圆锥体，所以有尖点。还有时它指的是出现在算子上的符号。在本书接下来的篇章中，它指的是实体算子本身。

第5章符号在欧洲的启蒙趣事

将1＋1简记为2，这使2成为一个新颖且“随意决定”的符号。“随意决定”指的是，使用其他任何符号同样可运作良好。用2来代表1＋1，而不是用＜，3，∞或其他任何符号，是因为某些印度人选择使用它。

——德·摩根（Augustus De Morgan）

说来奇怪，我们奇妙的现行数系传入欧洲至今，仅仅用了几个世纪的时间。这一切是否主要该归功于比萨的李奥纳多，仍存在争议。他是那个时代最伟大的数学家之一，他的名气主要来自著名的兔子繁衍问题，而我们更熟悉他的另一个名字“斐波那契”（Fibonacci）。可以确定的是，他并不是发现如何解答兔子问题的人，大约在迈向第一个千禧年之际，古印度提出这个问题，用以描述梵文诗歌的诗体结构和蕴藏的韵律。

斐波那契留下了一幅画像（参见图5-1）。这幅画绘于13世纪中叶，他看起来像个很好相处的男孩，大眼、小嘴，仿佛在探究引人好奇的事物。斐波那契年轻时和父亲周游地中海，在埃及、叙利亚、希腊和普罗旺斯遇见了神职人员、学者和商人。他学习到在交易中使用的数系。回到比萨后，他于1202年撰写了《计算书》，1228年重新修订。《计算书》是一本讨论如何不用算盘来计算的著作，用以说服西方商人，阿拉伯数系的计算方式优于当时惯用的罗马系统。这不是西方第一本叙述阿拉伯数字的书。“维希拉努斯抄本”是西方最早记有阿拉伯数字的手稿，当时已有两百五十年历史（参见图5-2）。而阿尔-花拉子密《算术》的拉丁译本在12世纪时已出现。

图5-1 斐波那契

然而，《计算书》在印刷术发明之前约两百五十年便已出现，那个时代没有地方性公共图书馆，知识是口头传播的。在意大利，印度-阿拉伯数字很早就传入，商业算术的实践者，也就是计算师傅，在担任算术、几何和代数的私人及公共教师时传播这项技术，并撰写相关的二流著作，展示重要的知识。他们抄袭其他手稿，经常改变问题的数值或调整问题来掩饰来源。在《计算书》首次出现约七十五年后，来自全欧洲的学生（波希米亚人、波兰人、法兰西人、日耳曼人、西班牙人）造访威尼斯和比萨等学术中心，传播了关于阿拉伯数字的信息。

图5-2 维希拉努斯抄本

17世纪晚期之前，大学里通常不教授代数。部分原因是，当时的大学是训练神职人员的主要场所，或培养医生和律师。反之，数学在bottegas （计算工作坊）蓬勃发展，这是14世纪和15世纪北意大利的一些计算学校，计算师傅在这里以方言教授商人和艺术家商业算术。“计算学校”（abacus school）或“计算传统”（abacus tradition）这类名称，源于这些学校的学生是以斐波那契《计算书》的方式学习数学，而非以算盘作为计算工具。abbacist（计算师）一词，用以称呼善于以印度-阿拉伯数字进行计算的人，区别于用算盘来计算的人。14世纪中叶，仅佛罗伦萨一地，就有至少一千两百名学生在该城约二十所计算工作坊就学。这些计算师傅以相当吸引人的方式，编写附有图示的专著，收录数百则算术和代数问题的解答，那些问题的难度往往超出学校所教授的课程。

查理曼大帝几乎征服了整个西欧，在公元800年成为神圣罗马帝国皇帝，他了解到欧洲在科学和医学方面远远落后于阿拉伯国家。他下令他的王国中每一所大教堂和修道院都必须开设学校，进行大众教育。那些学校除了教授几何和算术之外，几乎不教其他任何数学或科学。查理曼大帝逝世后，整个课程着重于拉丁文、音乐和神学。然而，多得出奇的富有天赋的教师和好奇心旺盛的学生将中世纪的课程，提升至博雅教育的层次：先是三艺（trivium ），包括语法、逻辑和修辞；接着是四艺（quadrivium ），包括算术、几何、音乐和天文学。任何顺利通过三艺的人，就会被视为博学。

到了12世纪，正当行会（guild）开始形成之际，最早的大学也设立了。这些大学通常是由师生自发建立并组织，自然独立于大教堂和修道院的学校之外。当然，因为当时担任圣职的人员是唯一受过教育者，大学教师都与教会有关联。

大学里的学生都只是儿童，通常不到十二岁。他们会花四年时间学习拉丁语法，若顺利通过，会被授予语法硕士学位。文学学士学位需要顺利完成三艺，这意味着更高阶、更受尊敬。文学硕士学位需要再花三年顺利完成四艺，这是当时可以取得的最高学位，非常难达到。要担任教职必须有文学硕士学位，但报酬微薄。

有很长一段时间，斐波那契的《计算书》是关于计算方法（abacus methods）的唯一已知包罗广泛的来源，或许因此被视为将印度-阿拉伯数字传入西方的媒介。 ^[1] 现在有一些普及著作宣称是斐波那契将印度-阿拉伯数字引入欧洲。然而，20世纪60年代以来，几位史学家认为，在斐波那契时代前后一些涉及印度-阿拉伯数字计算的书籍并未提到《计算书》。而更近期，2002年，丹麦数学史家延斯·贺鲁伯认为，关于计算的书籍是从伊比利亚和普罗旺斯传到北意大利的，指出将印度-阿拉伯数字引入欧洲的人并不是斐波那契。

斐波那契在《计算书》的序言中写道：

当我的父亲在远离我们家乡的贝贾亚（Béjaïa）海关——为经常聚集在那里的比萨商人设立的——担任行政官员时，他将年幼的我带到他身边，希望为我寻求一个有益而安逸的未来；他希望我在那里学习数学并且受教一段时间。在那里学到了令人惊奇的九个印度数字的技术……

这里只提到九个印度数字，所以不包括0，至少没有把它当作一个数字。

贺鲁伯宣称，到了12世纪早期，印度-阿拉伯数字已经由伊比利亚和普罗旺斯传入拉丁文化。但20世纪的史学家将引入印度-阿拉伯数字归功于斐波那契，是因为在他那个时代，意大利的商业教学应用的仍是罗马数字。之所以造成混淆，似乎是因为斐波那契的著作一直使用阿拉伯数字，来讨论大家熟悉的数学。

贺鲁伯进一步告诉我们，意大利关于计算的代数并非由斐波那契所启发，而是来自意大利以外，而且意大利商人对计算传统中所教授的这类内容早已有迫切需求。他又提到：“我们可以从分析中得知，13世纪开始的计算传统是非斐波那契式传统 ，即使它是早已存在的传统 。”

一百年前，著名的数学史学者大卫·尤金·史密斯和路易斯·查尔斯·卡宾斯基写道：

我们是如此熟悉那些带着引人误解的阿拉伯名称的数字，而它们在欧洲和美洲是如此广泛使用，我们很难意识到它们在商业交易中普遍被接受只是最近四个世纪的事，而今日有相当大一部分人还不知道这些数字。

史密斯和卡宾斯基继续指出，尽管其他所有系统是那么粗糙和笨拙，但这套系统却历经艰辛才成为全世界的标准系统，这是多么奇怪的事。我们很容易忽略我们所有人都在使用的系统是如此近期的产物，但令人惊奇的是，这套系统传到欧洲已有数百年时间。

在斐波那契的时代，有许多关于计算的文本。然而，那些文本是为了想学数论（arithmetica ）——关于数字和计算的理论及哲学——的人撰写的学术著作，或者是为了想精通教会历书的人所写。数学史家沃伦·凡·艾格蒙在博士研究中发现，那些书当中有许多并未在书名里使用abacus（计算）一词，而偏好用algorism（算法）这个词，这个词更直接地提示了关于印度-阿拉伯数字及其算法的说明。

尽管可能是斐波那契的著作将阿拉伯数字引入欧洲社会的某些地方，但也有可能意大利的旅行者和商人早已知道那些数字。而可以确定的是，在斐波那契的《计算书》之前差不多半世纪，有其他讨论阿拉伯数字的书籍。12世纪西班牙的《圣经》注解者、科学家及犹太拉比伊本·以斯拉撰写了《单位之书》来描述阿拉伯符号，并撰写《数字之书》描述有位值和零的十进制系统。他的著作对将阿拉伯数学的信息传递给商人大众没有太多贡献，但确实有助于让欧洲的学者注意到阿拉伯数学。大约在伊本·以斯拉撰写关于位值和零的著作时，著名的托雷多翻译学校（Toledo School of Translators）一位重要的翻译者希斯帕伦西斯，在他的著作《实用算术的计算书》中，写下被认为是已知西方最早对印度位值记法的描述。

20世纪早期的英国数学家及史学家W. W. 劳斯·鲍尔在其《简要数学史》（Short Account of the History of Mathematics ）一书中告诉我们：

尽管是李奥纳多（斐波那契）将阿拉伯数字引进商业事务，但盛行于东方的阿拉伯数字知识，在旅行者和商人间可能已不罕见，这是因为基督徒和穆斯林之间的往来十分密切，足以使双方互相学习一些语言和惯例。我们也很难想象，意大利商人对他们最好的一些客户所使用的记账方法一无所知；我们也不要忘了，有很多在穆斯林那里当奴隶的基督徒，后来逃了出来或者被赎回。

14世纪伊始，佛罗伦萨的银行家被禁止使用阿拉伯数字，而16世纪之前，这类数字尚未通行。1299年，佛罗伦萨市议会颁布交易所法规，宣布在金融账目中使用印度数学系统为非法，要求所有金钱记录必须以文字记账，如同今日银行支票的规定。之所以采取这种做法是基于安全理由，以防止利用在数字上方或下方简单加一笔的方式，把0篡改成6或9。

交易所法规无法影响市场、市集和交易所中的日常交易，人们可以使用印度系统做计算，最后将账目转换成罗马数字。实际上这项法规对新兴起的印度系统的使用并未造成太多阻碍。更确切地说，是纸张和潦草计算所需的可擦拭材料的昂贵费用，阻碍了印度系统的发展。执行了长除法这类必须划掉很多步骤的计算之后，纸张无法用于后面的计算。而旧系统只需要一块计算板、算盘或沙板，不需额外的费用。

算术图

在图5-3中，我们发现毕达哥拉斯坐在计算板前，而波埃修斯在用印度数字做计算。为什么是毕达哥拉斯？因为在中世纪时，人们误以为毕达哥拉斯是算盘的发明者。

图5-3 算术图（ Typus Arithmeticae ）。格雷戈尔·赖希的著作《哲学珠玑》（ Margarita Philosophica ）中的木刻插图，该书最早问世于1503年，在高等学校中作为百科全书式教科书五十年之久。这张插图描绘了两个计算者（据称是毕达哥拉斯的人物使用计算板，波埃修斯以印度系统计算）在算术化身的女性人物见证下进行一场竞赛。资料来源：国会图书馆

哈里发的故事为许许多多逸事奇谈提供了背景，我们有时忘了那些多半是带有异国情调的古老文明的西方民间传说。或许这是因为巴格达的阿拉伯人从他们的征服地和波斯湾港口累积了难以置信的财富，在东方的中国、印度、俄罗斯与西方的整个欧洲之间推动了他们的贸易。下述关于印度数字如何传入阿拉伯国家的故事也许是虚构的，它出自13世纪中叶的著作《学者年表》［Ta’rikh al-hukama （Chronology of the Scholars ）］，该书是伊本·奇夫提（Ibn al-Qifti）引述更早期的资料撰写而成。

哈里发曼苏尔（al-Mansur）在巴格达的皇家官邸接待了印度大使，那年是771年。大使送给哈里发的礼物是《婆罗门修正历书》，一本由印度数学家及天文学家婆罗门笈多在约一百五十年前以梵文写成的天文学著作。曼苏尔大力提倡文学和学术的传播，因此下令将《婆罗门修正历书》翻译成阿拉伯文。这个故事很可能只是传说，因为阿拉伯天文学应该有许多不同的来源。无论是否为传说，促使阿拉伯学者致力于天文学的可能就是这本书。

我们的零，作为一个数和一个占位符号，最早在书籍中出现可能是在近公元628年的某个时间。在婆罗门笈多的《婆罗门修正历书》里，我们第一次发现使用零和负数（负债）、正数（资产）的法则。婆罗门笈多将零标记成一个单一的黑点，用以表示从一个数减去本身之后所得的数。零不只是一个占位符号；或许这是有史以来第一次，有一个数代表nothing（无）。

我们对婆罗门笈多所知不多。他可能出生在印度南部的比拉马拉，但我们确知他在年少时期，移居至东南方四百公里处的乌贾因（Ujjain），在这个数学与天文学研究中心工作，那是6世纪的印度数学家及天文学家阿耶波多创立的。他研究高深的天文学，并发展了求平方根与解二次方程式的算术法则。

对于印度数学家阿耶波多生存的年代，我们同样了解不多，因为关于当时印度著述的历史记录相当稀少。古印度时期，印度人相信万物皆有神性或灵之起源，包括科学也是。天文学和数学归因于梵天（Brahma），他创造了整个世界，因而印度文化会忽视真正做出科学发现的人类。

鲍尔认为阿拉伯人一旦离开沙漠定居在巴格达和大马士革等城市中，便开始染上他们缺乏免疫力的疾病。当时，希腊人和犹太人的医学远比阿拉伯人进步。就这点而言，以亚里士多德和盖伦（Galen）的研究为基础，他们对所有科学知识的研究也远比阿拉伯人进步。因此，哈里发鼓励希腊和犹太医生前来教授他们科学，并保存他们的技艺传统。“阿拉伯人的科学知识，”鲍尔说，“最早来自在巴格达照顾哈里发的希腊医生。”

约公元800年时，哈里发哈伦·拉希德下令将希腊著作翻译成阿拉伯文，他的后继者哈里发马蒙依循了这项指示，派出代表团到君士坦丁堡和印度馆藏丰富的图书馆，抄写了数百份希腊文和印度文著作。代表团返国后，一大批叙利亚书记员奉命将欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯和托勒密的著作，翻译成阿拉伯文和叙利亚文。

多亏他们收集了那些著作，因为它们是现存仅有的复本。鲍尔也提到，令人好奇的一点是，丢番图的著作在将外来作品翻译成阿拉伯文的传统刚兴起的前一百五十年间，似乎没有引起注意。那个时候，阿拉伯人已经相当熟悉自己的代数记法了。

[1] 15世纪之前，abacus这个词指的是机械工具之外更广泛意义的计算，它意指“做算术”。

第6章阿拉伯数字的错误叫法

1983年，苏联发行了阿尔-花拉子密诞生一千两百周年纪念邮票，邮票上阿尔-花拉子密的肖像（参见图6-1）显示的是一个蓄胡子的男人，皱着眉，眼神迷离。我们可以知道某个9世纪的人长什么样子，但对他的生平却知之甚少，这不是很奇怪吗？事实上，我们几乎不知道他真正的模样。阿尔-花拉子密是他那个时代最伟大的阿拉伯数学家，他从婆罗门笈多《婆罗门修正历书》的阿拉伯文译本习得印度数字，并撰写了一本利用这些印度数字来做算术的教科书。 ^[1] 在约820年，阿尔-花拉子密撰写了《还原与对消计算概要》，这是一本关于如何解方程式的书（特别是解二次方程式的正根）。algebra（代数）一词，便来自这本书的阿拉伯文书名：Hisab aljabr w’almuqabala 。12世纪中叶，这本书被翻译成拉丁文，书名为Algebra et Almucabala ，这是algebra这个词具有今天的含义的由来。该书是现存最古老的阿拉伯代数著作。

图6-1 阿尔-花拉子密

阿尔-花拉子密以阿拉伯文撰述的原始算术书已不复存在。12世纪之初，该书出现在西班牙，由英格兰的翻译者切斯特的罗伯特（Robert of Chester）翻译为拉丁文。这部译本（发现于19世纪）和那段时期的其他著作，是已知最早将印度-阿拉伯数字传入欧洲的书籍，或许比斐波那契的《计算书》早了差不多一世纪。

阿尔-花拉子密的《印度数字计算》（On the Calculation with Hindu Numerals ）成书于近公元825年的某个时间，9世纪时可能就是借由该书将印度的记数系统传遍阿拉伯国家，而后通过一系列拉丁文译本把印度计数系统传入12世纪的欧洲。

786年至809年间的波斯，拥有先进的科学和艺术财富。即将迈入9世纪时，伊拉克的阿拉伯帝国阿拔斯王朝（Abbasid）第五代哈里发哈伦·拉希德在巴格达建造了一座图书馆兼翻译中心，它在接下来五百年的伊斯兰黄金时代变成重要的学术中心，被称为“智慧宫”。希腊文、中文和其他语种的天文学、数学、农业、医学和哲学作品，在智慧宫里被翻译成阿拉伯文。阿尔-花拉子密在这里进行研究，对所有源自印度的文献深感兴趣，包括婆罗门笈多的《婆罗门修正历书》，这本书在图书馆的虫害中幸存下来。在解读那些神秘的记号和将该书翻译为阿拉伯文时，他有了重大发现：一种比笨拙的阿拉伯算法更简单的算术方法。

截至当时，在美索不达米亚各处活动的阿拉伯人一直用下列方式来做算术：手指计数、算盘、复杂的罗马数字系统、将数字记成文字的繁杂体系，甚至精心计算恒星位置时也是如此。

阿尔-花拉子密可能在印度文书写的《婆罗门修正历书》中发现了一种极佳的方法，仅需十个符号，就能简单表示任何计数数字（counting number，即自然数）。他或许已经知道巴比伦人的六十进制（以60为基底），从而了解表示十进制的方法。虽然十进制在中世纪早期阿拉伯国家的商业活动中并不盛行，他可能仍将其视为一套先进的系统，即使未吸引全世界注意，至少值得学术界认真关注。

他或许已经知道，那套系统中的奇特黑点表示“无”（nothing），也即“无”的量。任何阅读《婆罗门修正历书》的人都会对这点感到困惑。书中将标记负值的数视为负债，他可能从这种概念中得到了启发。一种全新的对象之无限集合进入思维世界，这些对象将小于无的量——负数——符号化了。

有一个让人半信半疑的故事提到，阿尔-花拉子密到印度旅行，在那里接触到婆罗门笈多的数学手稿。然而，更可信的是，印度天文学家康卡（Kanka）在770年造访巴格达的智慧宫，他从印度带来许多手稿，其中包括《婆罗门修正历书》。这个故事比较合理，因为阿尔-花拉子密当时是智慧宫的学者，他在康卡造访后约五十年才撰写了其著作《印度数字计算》。主要就是凭借这本书，印度记数系统传遍阿拉伯国家和欧洲。

当时阿拉伯人没有自己的数字系统。阿拉伯世界的地理区域中说阿拉伯语和希腊语两种语言，他们所使用的系统，要么是希腊的字母系统，要么就是源于希腊形式而主要使用阿拉伯文字来表示数字的系统。那些新的数字有时被称为印度数字，有时则称为阿拉伯数字。斐波那契在他的《计算书》第一章开头，明确地将那九个数字称为印度数字。那段文字翻译如下：

九个印度数字为：

9，8，7，6，5，4，3，2，1。

利用这九个数字，以及阿拉伯人称为zephyr的记号0，任意数字都可以用下述方式写出来。一个数字是数个幺元（unit）的和，通过将数字相加，可以无止境地构造出新数字。第一，由幺元所组成的数包括一到十。第二，利用十可构造出十到一百这些数。第三，利用一百可构造出一百到一千这些数。第四，利用一千可构造出一千到一万这些数。因此，当我们不断地持续下去，任意数字都可以利用之前已造出的数构造出来。

用来表示这九个数字的书写形式差异很大，很可能因此造成混乱。然而，到了下一世纪，许多书写形式已经非常接近今日我们所用的标准符号。但阿拉伯的征服（Arab conquests， 623年至11世纪50年代）之后，阿拉伯天文表持续使用字母数字达数百年。在伊斯兰数字摘记中，没有统一使用印度-阿拉伯数字。

[1] 阿拉伯名字中的al（阿尔）意思是“来自出生地”。Khwarizmi（花拉子密）是今日乌兹别克的一个省。

第7章一本文献引发的争论

9世纪时，印度数字仍然太新奇、太怪异，以至无法从修道院和学者的喧闹中广泛传播开来。毕竟欧洲人并不知晓任何一个包含零的数字系统，零这个符号可用于书写无限大范围的数，而同时也代表“无”。巴比伦系统没有零，希腊系统没有，罗马系统也没有。

这不是说商业活动和旅行者似乎未将这些数字带入欧洲。其实是有的。原因在于那个怪兽，也就是零——这个令人疑惑的陌生者，让这个新系统推迟了三百多年才被普遍接受。今日，我们迅速地接受各种创新产品，却很少注意到它们如何彻底地影响我们的生活——计算机芯片、手机、卫星定位系统、延长生命的医疗器材。难以置信的是，欧洲花了三百多年才理解一个有史以来简化人类生活最伟大的设计概念。三百年！中世纪盛期的伽利略、笛卡儿或牛顿在哪儿呢？

困难之处在于区别占位符号与数字。接受零是一个代表没有量存在的数字，这个想法无比大胆。举例来说，数字二相当容易理解。它代表“2之所以为2”（two-ness）或代表计数两个对象的数字。但“0之所以为0”（zero-ness）呢？一个没有对象可计数的数字？这可能会是什么意思呢？然而，以零作为占位符号的概念，错综复杂与将零视为一个代表“无”的数字的观念联系了起来。令人困惑的是，表示空位的符号，与表示没有对象 可计数的数字，两者是相同的。缺少用来表示一个位置没有对象的第十个符号，印度九个符号的概念就行不通。这是巴比伦位值系统的部分难题。

然而，斐波那契面对的是在码头、市集和法院中的商人。他在其著作《计算书》中表明印度数字对那些商人来说是新奇的事物，因为他写道，他父亲（一位公证人）在他小时候带他到贝贾亚（在今日的阿尔及利亚），他发现了这个系统，并在那里学会计算之术。他写道：“拉丁民族”不懂印度的算术方法，而其他常见的计算技术，如算法和尖点体，都是“相较于印度方法而言错误的方法”。他真诚地相信这些看法。

身为同时代最伟大数学家之一的斐波那契，对于明确论及印度人以那九个数字来计算的技术的早期著作显得一无所知，这点似乎令人讶异。难道他不知道阿尔-花拉子密的《印度人的计算》（On the Calculation of the Indians ）吗？该书在前一个世纪早期就译成拉丁文了。他不知道976年西班牙阿贝达圣马丁修道院的手稿吗？那份手稿中提到：“我们应当知道，印度人具有最难以捉摸的天赋，让其他民族的算术和几何学相形失色……”他不知道意大利北部的托雷多翻译学校翻译了手稿？他不知道根据九个印度数字而发明的吉尔伯特算盘？他怎么会不知道撰写于托斯卡纳的欧几里得《几何原本》有希腊-拉丁文译本，其中使用了东方形式的印度数字符号？距斐波那契的故乡比萨仅一百多公里的公证人，已开始使用印度数字。从托雷多到里昂到慕尼黑再到爱尔兰，与计算有关的拉丁文书籍，都提到了运用九个字母的印度数字记数法，并说明了如何用印度数字来表示所有的数。

然而，究竟是谁将运用印度数字的计算方法引进欧洲并产生了广泛影响，答案并非显而易见，证据比较庞杂。斐波那契在比萨受教成为商人，在学校里，他学习用罗马数字在计算板上记录和计算。作为学徒时，他学会如何计算货品的价格，如何称重和量尺寸，以及如何转换等值的金钱。等他到了贝贾亚，已经能用计算板处理例行的商业算术。学会了印度数字和相关算术运算的方法之后，他发现印度的计算法比在比萨所用的那些方法好。当他回到比萨后，就不用再研究印度系统的拉丁文本了，他在贝贾亚已经学会了那套系统。这或许可以解释，为什么斐波那契没有提过任何关于利用九个数字来计算的印度技术的早期著作。

直到近期，中世纪研究者始终确信斐波那契的《计算书》是将现代算术引进西方的启发之作。2004年，数学史家拉法埃拉·法兰契推许此书为“意大利计算教学最重要的文献”。数年前，另一位著名的史学家伊丽莎贝塔·乌丽薇宣称，以托斯卡纳方言写成的计算著作，主要取材自斐波那契的两部著作《计算书》和《实用几何学》。而回溯至1980年，凡艾格蒙编目整理了到14世纪中叶为止，直接源自《计算书》的大量计算著作，证实了印度数字在意大利的传播及这些数字与斐波那契的关联。

接着（1989年之前）是吉诺·阿里吉的发现：他在佛罗伦萨的瑞卡迪纳图书馆找到一本以翁布里亚（Umbria）方言写成的著作《计算之书》（Livero de l’abbecho ）。 ^[1] 该书无疑是1289年（或前后一年）在翁布里亚成书的，作者不详。这是现存最早以方言写成的计算著作，可能是仿效一部更早期的版本撰写的，它开宗明义地写道：

Questo ène lo livero di l’abbecho secondo la oppenione de maiestro Leonardo de la chasa degli figluole Bonaçie da Pisa.

这是一部计算书，附议比萨的波那契（Bonacci）家族的李奥纳多大师之见。

从这段文字以及其他可信的证据，法兰契提出，无论这位翁布里亚大师是谁，这位作者可能变更了写法以适应其读者的需求。斐波那契可能就是翁布里亚大师本人，而该书或许其实是佚失的《简短之书》［Liber minoris guise（Book in a smaller sense） ］，斐波那契在其《计算书》中引用了这本书，因此我们知道那也是他的著作。果真如此，他是西方算术之父的看法将确凿无疑。但数学史家贺鲁伯认为，如果我们审慎地读完序言，会“发现里面有些内容绝非出自斐波那契之笔”。法兰契认为，仅凭《计算之书》刚开始的部分并非来自《计算书》这一点，不能说它看起来不像《计算书》。

由于敬重贺鲁伯的苦心阅读，法兰契改变了原先对斐波那契的实际贡献的部分看法，主张那些计算著作的“作者可能曾接触与李奥纳多所用的那些文献不同的阿拉伯文献”。她目前正研究两本在13世纪末或14世纪初写于比萨的计算论著，两书深受《计算书》前八章的启发。 ^[2]

印度数字传入西方无疑是从10世纪末以后开始的，这不必然意味着印度人的计算方法早在斐波那契之前就已传入。不过话说回来，根据另一位著名数学史家查尔斯·伯内特的看法，许多12世纪的印度计算著作指出斐波那契并不是先行者。

斐波那契在《计算书》的序言中告诉我们，他是在与父亲旅行时，在埃及、叙利亚、希腊和普罗旺斯遇见一些商人，学到了贸易使用的那九个印度数字。普罗旺斯？普罗旺斯不是在西欧吗？与普罗旺斯有贸易往来，却未启发意大利的计算算术，这怎么可能？

贺鲁伯谴责所谓的“巨著的原则”，那个原则声明每一本书要么是原创，要么就必须将它的见解归于某部已不复存在的名作。他写道：

《计算书》的某些段落显示，计算数学的发端，必定可追溯到斐波那契时代已经存在的环境——一个他熟知的环境，在那个环境里，他可算是早期卓越的倡导者，但并非创始者。

斐波那契对尚不为人所知的印度数字并无任何贡献。然而，他是新颖且困难的概念的杰出阐述者。他作为阐述者的天赋，或许影响了这个新系统从意大利扩散到欧洲其他地区的过程。到了13世纪中叶，已有多部拉丁文著作将这个新系统引进北欧。举例来说，《算法之歌》是一本广受欢迎的专论，法国方济会修士维尔迪厄在1240年撰写了这部著作，书中以两百四十四句扬抑抑格六音步诗说明了计算的方法：

算法是这样的。

这个称为算法的新技术，其中

利用五个数字的双倍

0 9 8 7 6 5 4 3 2 1

我们受惠于印度人的发明。

印度数字在12世纪和13世纪的学者群中广受欢迎，因为在修道院的手稿里经常可见这些数字。托雷多翻译学校的塞维亚的约翰（John of Seville）所翻译的一部拉丁文译本，在切斯特的罗伯特的译本之后随即问世，接着在1143年，切斯特的罗伯特的译本删节版收录进德国南部萨勒姆修道院（Salem Abbey）的图书馆，这是阿尔-花拉子密的《代数》传入欧洲北部最早的证据。 ^[3] 还有在巴黎的新大学任教的萨克罗博斯科，他在1240年撰写了《算法》一书，这本教科书讨论印度数字及如何用这些数字来计算，全欧洲都广泛使用这本书（参见图7-1）。

图7-1 摘自萨克罗博斯科《算法》1523年版的一段。第八行以下翻译如下：“要知道，有九个数字符号对应九个幺元，如下所示：0，9，8，7，6，5，4，3，2，1。第十个称为theca或 circulus 或cifra或 figura nihili ，因为它代表无。但当它被放置在适当的位置时，会赋予他者数值。”资料来源：托马什计算历史图书馆

因此，看起来似乎在斐波那契撰写《计算书》之前两三个世纪，关于这些新数字的消息已传遍了欧洲。这是新鲜事物，但非实际算法，因此，没有多少人使用。一个可能的原因是它被误解了。有人尝试让罗马数字顺应到位值系统中。罗马字母经常用于位值系统，不考虑零的概念。例如，数字16在罗马系统中写成XVI；就这里的位值意义而言，是表示XVI与XIV并不相同。别忘了，罗马人也使用计算板，上面区别了代表十的列、代表五的列及代表幺元的列。

当商人和会计员应该已经明确看到印度系统应用在计算板和算盘的位值上，并且每天在市场中以位值模式的概念谈论数字，中世纪的欧洲人怎么会无法理解这套系统的价值？

是什么原因让他们未能认识到这套印度系统的好处？一个可能的答案是，它或许比我们想象的更让人畏惧。想象一下，在我们已经如此熟悉印度系统之后，要学习使用比如希伯来数系这样的系统，会多么费力。唯有当你有机会使用一个新系统，你才能了解它的好处。

到了11世纪末，关于印度系统的信息借由在吉尔伯特算盘的算子上标记印度数字，传遍了欧洲。所以为什么我们如此赞同斐波那契将印度数字引进欧洲这件事？

在史密斯和卡宾斯基于1911年出版《印度-阿拉伯数字》（The Hindu-Arabic Numerals ）之前，关于现代数字起源的争论已风起云涌了近百年。史密斯和卡宾斯基表示，“在商业交易里普遍接受［印度数字］只是最近四个世纪的事”。韦氏字典列出0至9为阿拉伯数字，但我们发现一份662年的手稿残篇中提到这些数字的印度根源，这份手稿出自住在幼发拉底河肯尼锡（Kenneshre）的修道会的叙利亚学者，也就是尼西布斯（Nisibus）的塞维鲁主教之手。这份残篇藏于法国国家图书馆（MS Syriac [BNF]， No. 346），是现存已知来自印度之外最早的印度数字参考文献：

我将省略关于印度人的科学的所有讨论……他们精妙的天文学发现，比希腊人和巴比伦人的那些发现更具独创性的发现，以及难以描述的他们可贵的计算方法。我只想说这种计算是借助九个记号来完成的。如果那些因为本身讲希腊语，就认为自己已经达到科学极限的人会读印度著作，他们将确信，即使时间上晚了一点，仍有其他人像他们一样了解某些重要的事物。

所以，塞维鲁主教确已知道这九个记号，他是7世纪时在叙利亚的希腊哲学和科学的主要传播者之一。上述译文残篇除了挖苦评论其他讲希腊语的人，还宣称利用九个记号来表示所有数字的想法来自印度人。

塞维鲁认为，那个系统是从印度往西传遍了波斯世界。更近期（若我们可以说1977年是最近的话），研究中世纪占星学的史学家理查德·李梅（Richard Lemay）认为，连同《还原与对消计算概要》在内，阿尔-花拉子密的《算术》在12世纪间就有三种不同的拉丁文译本。他写道：“阿尔-花拉子密的《天文表》（Astronomical Tables ）是最值得注意的一个途径，经由这个途径，西方得以知悉这个印度-阿拉伯数字系统。”那九个记号的原创者是印度人这点，极可能是出自阿尔-花拉子密的《算术》。

在阿拉伯国家，这九个数字也称为“印度字母”或“数字”。少数确凿的一份文献是10世纪《黄金草原和珠玑宝藏》的记述，这部于957年问世的三十卷著作是冒险家兼说故事者马苏第毕生的心血。马苏第在第一章里写道，他选用这个书名是“为了读完内容后激发求知欲和好奇心，并且让心灵渴望熟悉历史”。马苏第是个富有好奇心且热衷于探究的人，他收集了波斯人、印度人、犹太人和罗马人的历史故事，以及东方文明的文化。他出生于巴格达，曾造访印度、锡兰（今斯里兰卡），横越印度洋到马达加斯加，上行红海回到埃及、巴勒斯坦和叙利亚。我们发现他在926年到过以色列太巴列（Tiberias）的加利利海（Sea of Galilee）附近；到了943年，出现在地中海周边的安提阿（Antioch）或基利家（Cilicia）附近；两年后，现身大马士革。他将其著作视为献给“国王和学者的一份礼物。内容论述了每一个可能有助于学习或引发学习好奇心的主题，并论及所有在时间推移过程中出现过的知识”。马苏第在其著作中通篇使用印度-阿拉伯数字，该书一开始是一段关于天文学家侯赛因（Hosaïn）的描述，他汇编了天文表，并讲述关于地球周长和直径的错得离谱的论据。

阿贝达伊雷瓜（Albelda de Iregua）是西班牙北部的一座小城镇，阿贝达圣马丁本笃会修道院的废墟矗立此地。在其10世纪全盛期，它是西欧最重要、最先进的文化中心，很可能是因为它就在埃布罗河（Ebro）沿岸的贸易路线上，连接西北部的卡斯提尔（Castile）与地中海。阿贝达圣马丁本笃会修道院有一座馆藏丰富的图书馆，收集了西方可得最丰富的中世纪西班牙文献，包括西欧最早关于1到9的阿拉伯数字的记录。塞维亚的伊西多尔（Isidore of Seville）于976年在该修道院撰写的拉丁文手稿《词源》（Etymologiae ），已经约略显示出除了4之外那些数字的现代形式。经过多年的演化，基本形式和特征趋于标准化。要精准指出趋于统一的正确时间点或许无法做到，不过我直觉认为这要归因于当时逃难的数学家。

现存最早关于印度算术的阿拉伯著作是阿布哈桑·阿尔乌几里德的《印度算术原理》（Kitab al-fusul fi’l-hisab al-hindi ），约952年时撰写于大马士革。使用印度数字最早的阿拉伯实例是两份写在莎草纸上的鳄城（Crocodilopolis）法律文件，该城（埃及最古老的城市）是由目睹当地居民礼拜活鳄鱼的希腊探险家所命名的。这两份文件以阿拉伯数字标注日期：873—874年和888—889年；接下来最早的一些例子要到11世纪才出现。到了12世纪，如摩洛哥数学家伊本·亚萨敏的描述，西边的伊斯兰世界与东边的伊斯兰世界书写印度-阿拉伯数字的方式有了明确的差异。已知最早以意大利方言写成的使用印度-阿拉伯数字的著作是《计算新书》（Libro di nuovi conti ），约成书于1260年，但现已不存。

根据所有文献资料和证据，我们能对现代数字的起源做出什么结论？它们源自印度？阿拉伯？中国？法兰西？专家对印度-阿拉伯数字的起源争论不休近两个世纪。其中一位专家是法国数学家兼史学家沙勒（Michel Chasles），他满怀爱国心，为印度-阿拉伯数字起源于法国这一个荒谬案例争辩，而其所依据的文件显然是伪造的。

[1] 我不知道发现这本书的确切时间，但必然是1989年之前。一些广受欢迎的著作认为发现者是法兰契。然而，在我与法兰契的谈话中，她说那本书实际上是阿里吉发现的。

[2] 感谢法兰契阐明了斐波那契对印度数字在意大利传播所产生的影响的争论。

[3] 12世纪时，萨勒姆修道院图书馆是欧洲最重要的图书馆之一。

第8章符号起源地的众说纷纭

弗兰-卢卡斯（Denis Vrain-Lucas）因无法合法收集到想要的文件而苦恼，所以在巴黎多座图书馆割下旧书扉页偷取古董纸张来伪造文件。他使用特殊的自制墨水，仔细模仿不同的笔迹，然后把赝品（信件和文件）卖给未起疑的手稿收藏家。

他是书记官，也是业余史学家，他充满热情地收集富有重大历史意义的手稿。1855年左右开始，超过十六年的时间，弗兰-卢卡斯卖出两万七千多件伪造亲笔签名的赝品，其中许多是卖给他最喜欢骗的目标沙勒，后者自1861年开始在九年间支付了数十万法郎。附有帕斯卡尔、伽利略、笛卡儿、牛顿、拉伯雷和路易十四亲笔签名的信件很可能被认定是真迹，而弗兰-卢卡斯在手稿收藏界累积了相当高的声望，让他能用那些荒谬可笑的东西冒充真品。

天真的沙勒购买了克丽奥佩特拉写给马克·安东尼的多封签名信（居然用的法文！），以及亚历山大大帝的一封签名信（也是法文！），而帕斯卡尔、牛顿、伽利略之间的来往书信也全是用法文，其中证明是帕斯卡尔发现了万有引力定律。牛顿在《原理》一书中关于万有引力的描述是在帕斯卡尔死后二十五年才发表的，所以任何这类有帕斯卡尔签名的信件当然让人吃惊。然而，1867年，沙勒带着他珍藏的信件来到法国科学院提出证据，尽管某些科学院成员心生怀疑，但其他人则沉溺于民族自尊心而假定那些东西是真的。1869年，弗兰-卢卡斯因伪造罪受审，被判两年监禁，但未强制他须赔偿沙勒的损失。不过，即使证据确凿，显示那些手稿是骗人的，沙勒仍坚信它们是真品。

有一位科学院成员始终坚定不移地怀疑这件事。这个人的全名是古列尔莫·利布里·卡鲁奇·达拉·索马埃布尔伯爵（Count Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja）。19世纪40年代的大部分时间里，沙勒和利布里在法国科学院的会议中针锋相对，争论的焦点多半是数字起源于哪个国家及代数的起源。

沙勒认为，在5世纪之前，法国已经有一种用于计算的十进制位值系统，波埃修斯的《算术》证明了这点，该书似乎使用了带有阿拉伯数字的乘法表。后来的学者强烈怀疑这部使用了阿拉伯数字的著作不是原始版本，但沙勒认为斐波那契的《计算书》是受到阿拉伯作者的影响。

与此同时，沙勒的对手利布里伯爵刚出版了《意大利科学史》中的一卷，其中论述了阿拉伯作者所使用的算术和位值记法起源于印度的问题。沙勒质疑利布里的观点，后者认为他们的现代数系是借由意大利斐波那契的著作传到欧洲的，而前者则认为是法国人韦达将现代数系传到了欧洲。这成为一场公开的论战，打着强烈对立的社会政治旗帜针锋相对。

利布里在三十八岁时被任命为法国图书馆的总督察，这激发了他处理珍本著作的长久兴趣，也使他难以克制冲动偷走了大量珍稀手稿。到了他四十五岁时，政府发出了对他的逮捕令。他带着两万多部珍稀书籍和手稿逃往伦敦，其中有一些书是他年轻时从佛罗伦萨的劳伦佐图书馆偷来的。任职于学术机构的杰出人士出现这种怪异的偷书行为可能令人费解，但这种行为在19世纪的法国并不稀奇。

19世纪大部分时间，十进制位值记法起源于印度的说法一直受到质疑。接着，1907年，在英属印度夏都西姆拉的印度政府教育部门任职的英国业余印度学研究者，在《孟加拉国亚洲学会期刊》发表了一篇文章。在那篇文章中，乔治·鲁斯比·凯伊声称数字和十进制位值系统不可能起源于印度。他的论点部分是因为对巴赫沙里手稿的错误判断及对这份手稿的年代判定。1881年，一个农夫在巴赫沙里村（位于今巴基斯坦）附近，挖掘出这份以梵文和古印度方言普拉克利特语（Prakrit）书写在桦树皮上的文献。这份手稿被发现时是断简残篇，原来可能有数百片桦树皮，由于处理不慎而腐烂，最后仅余七十片。

毋庸置疑，巴赫沙里手稿的记述跟我们的现代数字和位值系统存有差异。然而，这份手稿的年代始终具有争议。有些学者估计是公元400年，有些人推定是公元700年。凯伊声称可能的年代是13世纪初，但他在其1907年影响深远的文章中写道：“我们可以进一步如实指出，在印度数学的整个发展过程中，毫无迹象显示在10世纪之前曾运用任何位值的概念。”他暗指争论中的记法是起源于阿拉伯国家。要么他不了解这种位值记法，要么可能是他为了保护英属印度的殖民利益而排除了位值记法起源于印度的可能性。近期的学术研究推断，巴赫沙里手稿的年代介于公元前200年至公元300年间，他们的理论依据是这份手稿所用的语言自3世纪后已不存在。

巴黎第七大学法国国家科学研究中心（CNRS）数学史家阿加莎·凯勒如此评价凯伊：

我们在这里遭遇到科学史中一个奇怪而又熟悉的情形，这种事常常发生在科学故事中，这就是：有人拒绝接受事实。我们如何理解凯伊的态度？他无疑接触过证实这样的说法不可信的文本。

阿耶波多知道十进制，婆罗门笈多也知道。《毘耶舍论疏》（Vyasa-Bhasya ）是五六世纪间毘耶舍以梵文书写的瑜伽论著，该书中有一个数学模拟的例证：“同样的数字‘1’，放在一百的位置代表一百，放在十的位置代表十，而放在幺元的位置代表一。”因此，远在阿拉伯人之前，印度人就了解十进制。中国人同样知道十进制。所以，凯伊如何能否认我们的数系起源于印度？

在后续的论文中，凯伊写道，由于有这么多假造时间的数据，印度-阿拉伯数字表示法的历史错综复杂。他指出西方以前对数学的了解，主要归功于早期的印度数学家。凯勒认为，就“西方知识”来说，凯伊的意思是希腊-拉丁的智慧，是由阿拉伯学者传到西方的。凯伊似乎深受位值起源于早期梵文著作的想法困扰。

若非凯伊的论文如此受到重视，一切都没问题。他的文章广受印度学研究者欢迎，权威数学史家也引用他的看法，甚至包括20世纪早期极为杰出的学者大卫·尤金·史密斯、路易斯·查尔斯·卡宾斯基、弗洛里安·卡裘利和乔治·萨顿。迟至1927年，著名的印度数学史家达塔仍写道：

这篇发表的论文的意义和重要性，对所有的科学史爱好者来说显而易见。而他们无疑因凯伊先生在解说和校订巴赫沙里手稿过程中所做的极大努力，心存感激。

我们使用的十个数字，包括代表一个空位的零，是源自印度并由阿拉伯人传到我们的世界的，这一点看来没有疑问。所以接下来本书会称这些数字为印度数字。

阿尔-花拉子密将印度数字描述为梵文符号，但他的论著《印度人的计算》在13世纪前尚未译为拉丁文传入欧洲，当时的商人仍用罗马数字来进行日常计算。这可能是我们的数字起源于何处众说纷纭的原因。印度人无疑的确造访过比叙利亚更西边的地区；470年，婆罗米人受罗马宫廷之邀造访亚历山大城。然而，在那么早的时代，数字尚未被视为智识宝藏或科学珍宝，“反而像是在海港和港口城市流传开来的外族人的数字”。

无论真相如何，很可能在5世纪，印度数字已经由途经叙利亚的贸易路线传入亚历山大城。从亚历山大城这个连接欧洲的重要城市，数字往西方推进。

起初，无论是什么时候，这九个数字呈现混杂的形式；然而，到了13世纪初，斐波那契撰述《计算书》之后，那些数字的形式开始逐渐固定为我们今日所见的形状，只有少数例外。对于当时费力用罗马数字来记数和计算的欧洲人来说，这是天赐的礼物：认识到只需要十个符号，就足以表示在概念上无限的所有数字之集合体中的任意数字。罗马数字系统无法做到这点，因为对每一个十的乘幂，它都需要一个新的符号。

当然，无论他们使用哪一种系统，有时间又有毅力的人总是能进行计算。而他们向来有时间又有毅力！在这套有位值、零和简单算术的九个数字的杰出系统出现之前很久，东方的商人、天文学家和数学家已经以算术方法作为简单的工具，来进行艰难的计算。在差不多五千年间，各种形式的算术方法成为合宜有效的计算工具。10世纪时，算术方法往西方传播。

算术兴起于市场，而后发展到处理天文学问题。数字，商人的语言，必定来自用来描述数字的文字：一、十、百……在它们被各种记法符号化之前，这些都只是文字而已。一种描述大数字的简易方式，伴随着零的发明而出现，这时我们可以说“一零”“二零”“一零零”等等。一个单一的数字可以不断使用来表示无限多不同的数字。由此，我们了解到，利用我们已有的数串，可能写出无限多个数字。

虽然印度数字的信息通过商人和贸易人群广泛传播，但这些数字迟迟未成为标准形式。“一直要到16世纪，这些新数字才在学校和商业交易中彻底赢得胜利。即使迟至1543年，也就是哥白尼逝世那年，在他那年出版的著名著作《天体运行论》（De Revolutionibus Orbium Coelestium ）当中，我们仍发现罗马数字、印度数字混用，甚至完全以文字书写数字的奇异现象。”

关于我们的数系起源的严谨研究已经非常多，但即使经过上百年的广泛学术探讨，我们仍仅能概略猜测数系的发端和演化（参见图8-1）。

图8-1 印度数字的形态演变。关于东西方数字的差异和形态变化更包罗广泛的记述，参见Charles Burnett， “Indian Numerals in the Meditarranean Basin in the Twelfth Century， with Special Reference to the ‘Eastern Forms’”， China to Paris： 2000 Years’ Transmission of Mathematical Ideas ， ed. Yvonne Dold-Samplonius， Joseph Dauben， Menso Folkerts， and Benno Van Dalen (Wiesbaden： Franz Steiner Verlag， 2002)， 237–284

我们可以推测数字的形态演变过程。在几乎每一种文化中，数值较小的数字的书写都始于点或线，这很可能是因为刚开始手边可取得的工具的关系——刀、凿子、细枝或芦苇。在木头、石头或黏土上书写速度很慢，而用墨水写在莎草纸、羊皮纸或纸张上，不需要高举刷子或笔，所以速度加快。从1到9的现代数字的每一个，就像有意安排的一样，都是可以用笔写出的单一标记。我们所用的“2”的形态自然演变过程似乎是，，2。虽然没有确切的证据，但这个猜测似乎是正确的。那条对角线看起来是无意间把墨水从顶部线段拖曳到底部线段所形成的，以免浪费时间把笔或刷子抬高到离羊皮纸够高的地方。同样，“3”可能是快速写下三条水平线段所自然形成的。有时那些线段写成直式，如果是这样，那些数字看起来会很像我们现代的数字，只是转了九十度。

但是“4”呢？它是怎么来的？乍看之下，它只有三笔——垂直线、水平线和斜线。把它想成两个角 ——也就是快速写下的四条短线 ——它最后变成一个未中断的单一标记。那条斜线是从垂直线拖曳到水平线而无意间形成的。

奇怪的是，现代数字的笔画数与那个基数本身没有直接的关联。早期数字符号的形态变化已无法追溯。举例来说（参见图8-1），从10世纪至16世纪，数字5看起来很像各种不同方向的h，有时倒栽葱，有时则不然。16世纪之前，数字4不像我们现代的4。

历史进程不是预期的结果，往往由偶然与巧合推动，无法预测，也不易控制。阳光温暖了浅水池里的黏质物，慢慢创造了生物生存的条件，使地球上产生了生物。而地震埋葬了文明。非预期的驱动力改变了国家，这些驱动力可能是无法预知国家领导者是否英明，也可能是无法预测领导者的决定带来的是福是祸。若是签订第一次大战条约时能够更加理解它所造成的后果，第二次世界大战也许不会发生。换句话说，如果希特勒小时候死于风湿热，整个20世纪可能出现非常、非常不同的结果。理性的过程扮演了某种角色，但只是串联起偶然性与后果交织的错综复杂情况。一个偶然性使得某个人出生，而另一个人的生命太早结束；一个偶然性使得自然剧变摧毁了解答一项关键问题的线索，而另一个偶然性使得自然剧变创造了一条线索；一个偶然性让某份文件佚失，而另一份文件寻获。人类命运时间轴上的趋向，时而枯燥乏味，时而精彩绝伦，而且看起来就像外海上的天气一样变幻莫测。

要处理古代文献中的记法是有困难的：无论多么认真地检验文献，对于记法是如何出现的这件事，总是会有某种程度的猜测——抄写员是否加入了手稿原来没有的什么东西？印刷业者是否用冷式排版（cold type） ^[1] 来替代记法，以便更容易留间隔？作者思考的全过程，或是他们的作品如何影响他人，就是史学家找到真相的最好机会。有些时候，大多数历史专家并不同意彼此的看法。人类知识的发展，就像已故科学家的传记，涉及如此众多相互交织的科学、经济学、神学、政治的因果式的关系，而推测往往是将它们联系起来的最佳方式。毕竟没有推特可以告诉我们，数学的早期贡献者到底是怎么想的。

总有奇怪的事情发生，也总有好的事情发生。这就是历史运行的方式。

这个世界最卓越的数学史家未必同意彼此的观点。这很好，这使得问题可以进一步研究，而这不就是历史最令人兴奋的地方吗？埋在沉积物中数十万年的一个有机体，因地震而重见天日。修道院图书馆里一份千年的羊皮纸文献，被发现是散佚已久的数学著作。一部因熔岩崩塌而保存了数百年的手稿出土，诉说一个真实的故事。历史因始料未及的惊奇而获得修正。这些事在每一个世纪上演着。

[1] 使用机械式铅字打字（打字机）、照相打字、计算机照相排版等不须经过热力处理，即可完成检排作业的排版方式。——编者注

第二部分思维演化的历史

时间再回到印度数字传入欧洲之前。

主要的创始者

这些创始者多半是最早在著作中使用符号，或最为知名者：

丢番图（Diophantus，205±15—290±15年）

亚历山大城的希腊人，数学家。

约250年撰写了《算术》（ Arithmetica ）一书。最早以符号来代表减（）和未知数（）。

希帕蒂亚（Hypatia，约350—370年）

希腊人，数学家。

首位杰出女性数学家，《算术》一书注释者。

阿耶波多（Aryabhatta，476—550年）

印度人，数学家、天文学家。

使用字母来代表未知数。

婆罗门笈多（Brahmagupta，598—668年）

印度人，数学家、天文学家。

可能是最早把零（一个小黑点）当作数字的作者（621年）。撰写了《婆罗门修正历书》（628年），书中以缩写来代表平方和平方根，以及出现在特殊形式问题里数个未知数中的每一个。提出负数与正数的乘法法则。

阿尔-花拉子密（al-Khwārizmī，约780—约850年）

波斯人，数学家、天文学家、地理学家。

智慧宫学者。著有《还原与对消计算概要》（简称《代数》，830年）。以各种不同的形式，用文字表述代数式。

比萨的达地师傅（Maestro Dardi di Pisa，Jacopo）

意大利人，数学家。

1344年的未出版手稿 Aliabraa argibra 是最早以意大利方言写成的代数专论。

帕乔利（Fra Luca Bartolomeo de Pacioli，1446或1447—1517年）

意大利人，数学家。

他的代数专著是最早印行的相关书籍，以阿拉伯文命名：《还原与比较》［ Alghebra e Almucabala （ Restitution and Comparison， or Opposition and Comparison or Resolution and Equation ）， 1478年］。

丘凯（Nicolas Chuquet，1455—1488年）

法国人，数学家。

著有《数学三篇》（ Triparty en la Science des Nombres ，约1484年）。将代表幂次的各个记号标记为， ² ……将平方根标记为。

威德曼（Johannes Widmann，1460—1498年）

德国人，数学家。

在其1489年的著作《各种职业中快速且工整的计算》（ Behende und hübsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft ）中，引进“＋”作为代表加的符号。

施蒂费尔（Michael Stifel 或 Stefleius，1487—1567年）

德国人，数学家。

1553年出版《求根术》（ Die Coss ）。使用字母M和D分别代表乘和除。所以3② D sec ① M ter ②是表示，其中 sec 和 ter 代表第二个和第三个未知数。

鲁道夫（Christoff Rudolff，1499—1545年）

德国人，教科书作者。

著有《求根术》（ Die Coss ， 1525年）。纳入符号，和来分别代表平方根、立方根和四次方根。

卡丹诺（Gerolamo Cardano，1501—1576年）

意大利人，医师、数学家、占星家。

1545年撰写《大术》（ Ars Magna ），解三次方程式和四次方程式。认可虚数解和复数解。

雷科德（Robert Recorde，约1512—1558年）

韦尔斯人，医师、数学家。

著有《砺智石》（ Whetstone of Witte ， 1557年），广泛流传，将等号（＝）引进欧洲北部国家。

邦贝利（Rafael Bombelli，1526—1572年）

意大利人，数学家。

涉及求解三次方程式和四次方程式（1572年）。使用，， ……来表示未知数及其平方、立方等。

克胥兰德（Guilielmus Xylander，Wilhelm Holzmann，1532—1576年）

德国人，学者。

古典学者，欧几里得《几何原本》和丢番图《算术》的拉丁文译者。

韦达（François VIÈTE，1540—1603年）

法国人，数学家。

使用字母将数字表示为一般的数学对象，并应用相同的代数推理和法则。

西蒙·史蒂文（Simon Stevin，1548—1620年）

法兰德斯人，数学家、工程师。

在他的《算术》（ L’Arithmetique ， 1585年）中，使用所谓指数计划（Index Plan）来书写指数，例如， x² －3 x ＋2会写成。

哈里奥特（Thomas Harriot，1560—1621年）

英格兰人，天文学家、数学家、民族志学者。

令多项式等于零，从而发现：若 a 是小于五次的多项方程式的一个根，则 x － a 为该多项式的一个因式。

奥特雷德（William Oughtred，1574—1660年）

英格兰人，数学家。

著有《数学之钥》（ Clavis mathematicae ， 1631年）。创造出超过一百个符号，但不到十二个沿用至17世纪之后。使用“×”来表示乘，冒号“：”代表除。

埃里冈（Pierre Hérigone，1580—1643年）

法国人，数学家、天文学家。

著有《数学教程》（ Cursus mathematicus ， 1634年）。撰写了一部有六卷的代数教科书，几乎完全以符号写成。发明了“⊥”（垂直于）和“∠”（角）。

巴歇（Claude Gaspard Bachet，1581—1638年）

法国人，数学家、语言学家、学者。

最早将丢番图的《算术》从希腊文翻译为拉丁文（1621年）。

笛卡儿（René Descartes，1596—1650年）

法国人，数学家、哲学家。

著有《几何学》（ La Géométrie ， 1637年）。使用数字上标来标记多项式的正整数指数。将一个个乘方以数字等级排列。创立规约：保留字母表前面的字母来表示固定的已知量，后面的字母来表示变量或未知数。

沃利斯（John Wallis，1616—1703年）

英格兰人，数学家。

著有《普遍数理》（ Mathesis Universalis ）和《无限算术》（ Arithmetica Infinitorum ， 1655年）。使用负指数，并以符号∞表示无限。

牛顿（Isaac Newton，1642—1727年）

英格兰人，物理学家、数学家、炼金术士。

将未知变量视为“流”（ fluent ，今日所称的“因变量”），亦即沿着曲线流动的量。以“打点”的形式来表示称为“标点”字母（ pricked letter）的导数，，。

莱布尼兹（Gottfried Leibniz，1646—1716年）

德国人，数学家、哲学家。

理解符号的限制及其在概念上的力量。为书写清晰起见，优先使用符号。发明特有的微分符号和积分符号。

欧拉（Leonhard Euler，1707—1783年）

瑞士人，物理学家、数学家。

著有《皇家科学院报告编辑》（ Recueil des pieces qui ont remporte les pris de l’academie royale des sciences ， 1777年），以 i 来表示。

威廉·琼斯（William Jones，1746—1794年）

韦尔斯人，语文学家、古印度学家。

引进希腊字母 π 。

狄利克雷（Gustave-Peter Lejeune Dirichlet，1805—1859年）

德国人，数学家。

提出现代的函数概念。

哈密尔顿（William Rowan Hamilton，1805—1865年）

爱尔兰人，物理学家、数学家。

引进“四元数”，一种在四维中包含复数系的新数系。